cho S=1/1!+1/2!+1/3!+…+1/2012!.chứng minh S<2

0 bình luận về “cho S=1/1!+1/2!+1/3!+…+1/2012!.chứng minh S<2”

1. Bạn tự chứng minh công thức: $\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{n(n+1)}$ (quy đồng vế trái)

   Ta có: $\frac{1}{1!}$=$\frac{1}{1}$=1 

             $\frac{1}{2!}$=$\frac{1}{1.2}$=1-$\frac{1}{2}$ 

             $\frac{1}{3!}$=$\frac{1}{1.2.3}$=$\frac{1}{2.3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$ 

             $\frac{1}{4!}$=$\frac{1}{1.2.3.4}$<$\frac{1}{3.4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$ 

             $\frac{1}{5!}$=$\frac{1}{1.2.3.4.5}$<$\frac{1}{4.5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$ 

             …………………………………..

             $\frac{1}{2012!}$=$\frac{1}{1.2.3. … .2012}$<$\frac{1}{2011.2012}$=$\frac{1}{2011}$-$\frac{1}{2012}$ 

   ⇒ S=$\frac{1}{1!}$+$\frac{1}{2!}$+$\frac{1}{3!}$+$\frac{1}{4!}$+….+$\frac{1}{2012!}$

         <1+1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+….+$\frac{1}{2011}$-$\frac{1}{2012}$ 

         =2-$\frac{1}{2012}$<2 (do $\frac{1}{2012}$>0) (đpcm)

   Vậy S<2

   Trả lời

2. Ta có:

   $S = \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + ….. + \dfrac{1}{2012!}$

   $S = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1.2} + …. + \dfrac{1}{1.2.3….2012}$

   $S < 1 + \dfrac{1}{1.2} + \dfrac{1}{2.3} + ….. + \dfrac{1}{2011.2012}$

   $S < 1 + 1 – \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{3} + …. + \dfrac{1}{2011} – \dfrac{1}{2012}$

   $S < 2 – \dfrac{1}{2012}$

   $⇒ S < 2$($đpcm$)_

   Trả lời