cho S = 1+ 3 mũ 1 + 3 mũ 2 + … + 3 mũ 30 tìm chữ số tận cùng của S, từ đó suy ra S không phải là số chính phương

Giải thích các bước giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
S = 1 + {3^1} + {3^2} + ….. + {3^{30}}\\
 \Leftrightarrow 3S = 3.\left( {1 + {3^1} + {3^2} + ….. + {3^{30}}} \right)\\
 \Leftrightarrow 3S = 3.1 + {3.3^1} + {3.3^2} + ….. + {3.3^{30}}\\
 \Leftrightarrow 3S = 3 + {3^2} + {3^3} + ….. + {3^{31}}\\
 \Leftrightarrow 3S – S = \left( {3 + {3^2} + {3^3} + ….. + {3^{31}}} \right) – \left( {1 + {3^1} + {3^2} + ….. + {3^{30}}} \right)\\
 \Leftrightarrow 2S = {3^{31}} – 1\\
 \Leftrightarrow S = \dfrac{{{3^{31}} – 1}}{2}\\
 \Leftrightarrow S = \dfrac{{{3^{28}}{{.3}^3} – 1}}{2}\\
 \Leftrightarrow S = \dfrac{{{{\left( {{3^4}} \right)}^7}.27 – 1}}{2}\\
 \Leftrightarrow S = \dfrac{{{{81}^7}.27 – 1}}{2}
\end{array}\)

\({81^7}\) có chữ số tận cùng là 1 nên \({81^7}.27\) có chữ số tận cùng bằng 7.

Suy ra \[{81^7}.27 – 1\] có chữ số tận cùng là 6

Hay \(S = \dfrac{{{{81}^7}.27 – 1}}{2}\) có chữ số tận cùng là 3.

Số chính phương không có chữ số tận cùng là 3 nên S không phải là số chính phương,