Cho S = 2 + 2^2 + 2^3 +….+ 2^100. Chứng minh rằng S + 5 chia hết cho 7

0 bình luận về “Cho S = 2 + 2^2 + 2^3 +….+ 2^100. Chứng minh rằng S + 5 chia hết cho 7”

1. Tham khảo

    `S=2+2^2+2^3+2^4+….+2^{98}+2^{99}+2^{100}`

   `⇒S=2+(2^2+2^3+2^4)+….+(2^{98}+2^{99}+2^{100})`

   `⇒S=2+2^2.(1+2+2^2)+…+2^{98}.(1+2+2^2)`

   `⇒S+5=2+5+2^{2}.7+..+2^{98}.7`

   `⇒S+5=7.(1+2^2+…+2^{98})`

   `⇒S+5 \vdots 7`

   `\text{©CBT}`

   Bình luận

2. Giải:

   S = $2$ + $2^{2}$ + $2^{3}$ + $2^{4}$ + … + $2^{100}$
   Ghép các cặp số hạng liên tiếp từ $2^{2}$. Ta có:

   S = $2$ + ($2^{2}$+$2^{3}$+$2^{4}$) + … + ($2^{98}$+$2^{99}$+$2^{100}$)
   Mà các số trong các cặp luôn luôn có 1 số chia 1 dư 7, 1 số chia 2 dư 7 và 1 số chia 4 dư 7.

   (Ví dụ: $2^{2}$ chia 7 dư 4, $2^{3}$ chia 7 dư 1, $2^{4}$ chia 7 dư 2)

   => Các cặp số đều chia hết cho 7.

   Còn số 2 không có cặp nên S chia 7 dư 2.

   Tức là S + 5 sẽ chia hết cho 7 (đpcm).

   Bình luận