cho S = a1^3 + a2^3 + a3^3 +…+ a100^3 với a1,a2,…,a100 là các số nguyên thỏa mãn a1+a2+…+a100 = 2021^2022. CMR S-1 chia hết cho 6

0 bình luận về “cho S = a1^3 + a2^3 + a3^3 +…+ a100^3 với a1,a2,…,a100 là các số nguyên thỏa mãn a1+a2+…+a100 = 2021^2022. CMR S-1 chia hết cho 6”

1. Giải thích các bước giải:

   Ta có:

   $a^3-a=a(a^2-1)=a(a-1)(a+1)$

   Vì $a-1, a ,a+1$ là $3$ số nguyên liên tiếp

   $\to a(a-1)(a+1)\quad\vdots\quad 2, 3$

   $\to a(a-1)(a+1)\quad\vdots\quad 2\cdot 3$ vì $(2, 3)=1$

   $\to a(a-1)(a+1)\quad\vdots\quad6$

   $\to a^3-a\quad\vdots\quad6$

   Ta có:

   $S-(a_1+a_2+…+a_{100})$

   $=(a_1^3-a_1)+(a_2^3-a_2)+…+(a_{100}^3-a_{100})\quad\vdots\quad 6$

   $\to S-(a_1+a_2+…+a_{100})\quad\vdots\quad 6$

   $\to S-2021^{2022}\quad\vdots\quad 6$

   $\to S-1-(2021^{2022}-1)\quad\vdots\quad 6(*)$

   Mà $2021\equiv -1(mod 6)$

   $\to 2021^{2022}\equiv 1(mod 6)$

   $\to 2021^{2022}-1\equiv 0(mod 6)$

   $\to 2021^{2022}-1\quad\vdots\quad 6$

   Kết hợp $(*)$

   $\to S-1\quad\vdots\quad 6$

   $\to đpcm$

   Trả lời

2. Ta có:

   a3−a=a(a2−1)=a(a−1)(a+1)a3−a=a(a2−1)=a(a−1)(a+1)

   Vì a−1,a,a+1a−1,a,a+1 là 33 số nguyên liên tiếp

   →a(a−1)(a+1)⋮2,3→a(a−1)(a+1)⋮2,3

   →a(a−1)(a+1)⋮2⋅3→a(a−1)(a+1)⋮2⋅3 vì (2,3)=1(2,3)=1

   →a(a−1)(a+1)⋮6→a(a−1)(a+1)⋮6

   →a3−a⋮6→a3−a⋮6

   Ta có:

   S−(a1+a2+...+a100)S−(a1+a2+…+a100)

   =(a31−a1)+(a32−a2)+...+(a3100−a100)⋮6=(a13−a1)+(a23−a2)+…+(a1003−a100)⋮6

   →S−(a1+a2+...+a100)⋮6→S−(a1+a2+…+a100)⋮6

   →S−20212022⋮6→S−20212022⋮6

   →S−1−(20212022−1)⋮6(∗)→S−1−(20212022−1)⋮6(∗)

   Mà 2021≡−1(mod6)2021≡−1(mod6)

   →20212022≡1(mod6)→20212022≡1(mod6)

   →20212022−1≡0(mod6)→20212022−1≡0(mod6)

   →20212022−1⋮6→20212022−1⋮6

   Kết hợp (∗)(∗)

   →S−1⋮6→S−1⋮6

   →đpcm

   ch các bước giải:

    

   Trả lời