Cho số N = 1 mũ 9 x 2 mũ 8 x 3 mũ 7 x 4 mũ 6 x 5 mũ 5 x 6 mũ 4 x 7 mũ 3 x 8 mũ 2 x 9 mũ 1. Hỏi số N có bao nhiêu ước là số chính phương ?

Đáp án: $1008$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$N=1^9\cdot 2^8\cdot 3^7\cdot 4^6\cdot 5^5\cdot 6^4\cdot 7^3\cdot 8^2\cdot 9^1$

$\to N=2^8\cdot 3^7\cdot (2^2)^6\cdot 5^5\cdot (2\cdot 3)^4\cdot 7^3\cdot (2^3)^2\cdot (3^2)^1$

$\to N=2^8\cdot 3^7\cdot 2^{12}\cdot 5^5\cdot 2^4\cdot 3^4\cdot 7^3\cdot 2^6\cdot 3^2$

$\to N=2^{8+12+4+6}\cdot 3^{7+4+2}\cdot 5^5\cdot 7^3$

$\to N=2^{30}\cdot 3^{13}\cdot 5^5\cdot 7^3$

$\to$Số ước chính phương của $N$ bằng số lượng ước chính phương của 

$M=2^{30}\cdot 3^{12}\cdot 5^4\cdot 7^2$

$\to M=(2^2)^{15}\cdot (3^2)^{6}\cdot (5^2)^2\cdot 7^2$

Vì khi phân tích một số chính phương ra thừa số nguyên tố ta được tích các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn

$\to$Số lượng số ước là số chính phương của $M$ là:

$(15+1)(6+1)(2+1)(2+1)=1008$

$\to$Số lượng số ước là số chính phương của $N$ là $1008$