Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng 1 + $\frac{1}{n^{2}}$ + $\frac{1}{(n+1)^{2}}$ là bình phương của một số hữu tỉ

0 bình luận về “Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng 1 + $\frac{1}{n^{2}}$ + $\frac{1}{(n+1)^{2}}$ là bình phương của một số hữu tỉ”

1. Giải thích các bước giải:

   $\begin{array}{l}
   A = 1 + \dfrac{1}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\\
    = \dfrac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}{n^2} + {{\left( {n + 1} \right)}^2} + {n^2}}}{{{{\left( {n\left( {n + 1} \right)} \right)}^2}}}\\
    = \dfrac{{{{\left( {{n^2} + n} \right)}^2} + 2{n^2} + 2n + 1}}{{{{\left( {n\left( {n + 1} \right)} \right)}^2}}}\\
    = \dfrac{{{{\left( {{n^2} + 1} \right)}^2} + 2\left( {{n^2} + n} \right) + 1}}{{{{\left( {n\left( {n + 1} \right)} \right)}^2}}}\\
    = \dfrac{{{{\left( {{n^2} + n + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {n\left( {n + 1} \right)} \right)}^2}}}\\
    = {\left( {\dfrac{{{n^2} + n + 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}}} \right)^2}\\
    = {\left( {\dfrac{{{n^2} + n + 1}}{{{n^2} + n}}} \right)^2}
   \end{array}$

   Mà $n \in N* \Rightarrow \dfrac{{{n^2} + n + 1}}{{{n^2} + n}} \in Q$

   $\to A$ là bình phương của một số hữu tỉ.

    

   Bình luận