Cho số nguyên tố `p>3` và `2` số nguyên dương `a,b` sao cho: `p^2+a^2=b^2.` Chứng minh `a` chia hết cho `12` `#` Chi tiết hộ mình. Cảm ơn ạ

0 bình luận về “Cho số nguyên tố `p>3` và `2` số nguyên dương `a,b` sao cho: `p^2+a^2=b^2.` Chứng minh `a` chia hết cho `12` `#` Chi tiết hộ mình. Cảm ơn ạ”

1. `p^2+a^2=b^2`

   `=>p^2=(b-a)(b+a)`

   Mà `p` là số nguyên tố

   `=>Ư(p^2)={±1,±p,±p^2}`

   Do `b+a>b-a>0`

   `=>`$\begin{cases}a+b=p^2\\b-a=1\end{cases}$

   `=>`$\begin{cases}b=\dfrac{p^2+1}{2}\\a=\dfrac{p^2-1}{2}\end{cases}$

   `+)`

   `p^2` là số chính phương`=>p^2 :3` dư `0` hoặc`1` 

   Mà `p` là số nguyên tố`p>3`

    `=>p^2 : 3` dư `1`

   `=>p^2=3K+1(K∈N)`

   `=>a=(p^2-1)/2 =(3K+1-1)/2=(3K)/2`

   Mà `a∈N`

   `=>(3K)/2 ∈N`

   `⇒K`$\vdots$`2`

   `=>a `$\vdots$`3`

   `+)`

   `p^2` là số chính phương`=>p^2 :8` dư `0` hoặc`1` hoặc`4`

   Mà `p` là số nguyên tố

    `=>p^2 : 8` dư `1`

   `=>p^2=8K+1(K∈N)`

   `=>a=(p^2-1)/2 =(8K+1-1)/2=4K`

   `=>a `$\vdots$`4`

   Có:

   `a `$\vdots$`3`

   `a `$\vdots$`4`

   Mà `(3,4)=1`

   `=>a`$\vdots$`12`

   Trả lời