Cho số nguyên tố p thỏa mãn p+6 cũng là số nguyên tố. CM $p^{2}$ +2021 là hợp số Cần trc 6h!

0 bình luận về “Cho số nguyên tố p thỏa mãn p+6 cũng là số nguyên tố. CM $p^{2}$ +2021 là hợp số Cần trc 6h!”

1. Giải thích các bước giải:

    Ta có:

   +) Nếu $p=2$ thì $p+6=8\vdots 2$(loại)

   +) Nếu $p=3$ thì $p+6=9\vdots 3$(loại)

   +) Nếu $p>3$ thì $\left[ \begin{array}{l}
   p = 3k + 1\\
   p = 3k + 2
   \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$

   Ta có:

   +) TH1: $p = 3k + 1$$\left( {k \in Z} \right)$

   Khi đó:

   $\begin{array}{l}
   {p^2} + 2021\\
    = {\left( {3k + 1} \right)^2} + 2021\\
    = 9{k^2} + 6k + 2022\\
    = 3\left( {3{k^2} + 2k + 674} \right) \vdots 3\\
    \Rightarrow {p^2} + 2021 \vdots 3
   \end{array}$

   $ \Rightarrow {p^2} + 2021$ là hợp số.

   +) TH2: $p = 3k + 2$$\left( {k \in Z} \right)$

   Khi đó:

   $\begin{array}{l}
   {p^2} + 2021\\
    = {\left( {3k + 2} \right)^2} + 2021\\
    = 9{k^2} + 12k + 2025\\
    = 3\left( {3{k^2} + 2k + 675} \right) \vdots 3\\
    \Rightarrow {p^2} + 2021 \vdots 3
   \end{array}$

   $ \Rightarrow {p^2} + 2021$ là hợp số.

   Như vậy: Với mọi $p$ là số nguyên tố và $p+6$ là số nguyên tố thì $p^2+2021$ là hợp số.

   Bình luận

2. Tham khảo

    Xét `p=2`

   `⇒p+6=2+6=8`(Hợp số loại)

   Xét `p=3`

   `⇒p+6=3+6=9`(Hợp số loại)

   Vì `p` là số nguyên tố`⇒p>3` có dạng `3k+1,3k+2`

   Xét `p=3k+1`

   `⇒p+6=3k+1+6=3k+7`(nguyên tố thỏa mãn)

   `⇒p^2+2021=(3k+1)^2+2021=9k^2+6k+2022` (Hợp số thỏa mãn vì chia hết `3)`

   Xét `p=3k+2`

   `⇒p+6=3k+2+6=3k+8`(nguyên tố thỏa mãn)

   `⇒p^2+2021=(3k+2)^2+2021=9k^2+12k+2025`(hợp số thỏa mãn vì chia hết `3)`

   Vậy `p^2+2021` là hợp số`⇔p` là nguyên tố có dạng `3k+1,3k+2`

   `\text{©CBT}`

   Bình luận