Cho số nguyên tố p và các số nguyên dương x, y thỏa mãn:
`4x^2-3xy-p(3x+2y)=2p^2`
Chứng minh rằng `5x-1` là số chính phương
Cho số nguyên tố p và các số nguyên dương x, y thỏa mãn:
`4x^2-3xy-p(3x+2y)=2p^2`
Chứng minh rằng `5x-1` là số chính phương
Đáp án:
`↓↓`
Giải thích các bước giải:
Ta có:
`4x^2 – 3xy – p(3x + 2y) = 2p^2`
`⇒ 4x^2 – 3xy – 3px – 2py – p^2 – y^2= p^2`
`⇒(x – y – p)(y + 4x + p) = p^2`
Vì `x, y, p in Z^{+}`
`⇒ x – y – p , y + 4x + p in Ư(p^2)`
mà `p` là SNT nên `Ư(p) = {±1 ; ±p ; ±p^2}`
Vì `x, y, p > 0 ⇒` $\left \{ {{y + 4x + p > 0} \atop { y + 4x + p > x – y – p}} \right.$ mà `p^2 > 0 -> x – y – p > 0`
$\left \{ {{⇒ x – y – p = 1} \atop {⇒y + 4x + p = p^2}} \right.$
Cộng lại:
`5x = p^2 + 1 -> 5x – 1 = p^2 (đpcm)`
Đáp án:
Ta có
`4x^2 – 3xy – p(3x + 2y) = 2p^2`
`<=> 4x^2 – 3xy – 3px – 2py – p^2 – y^2= p^2`
`<=> (x – y – p)(y + 4x + p) = p^2`
Do `x,y,p in Z^{+}`
`-> x – y – p , y + 4x + p in Ư(p^2)`
mà `p` là SNT nên ` Ư(p) = {±1 ; ±p ; ±p^2}`
Do `x,y,p > 0 -> {y + 4x + p > 0` mà `p^2 > 0 -> x – y – p > 0`
`{y + 4x + p > x – y – p`
`-> {x – y – p = 1`
`{y + 4x + p = p^2`
Cộng lại ta được
`5x = p^2 + 1 -> 5x – 1 = p^2 (đpcm)`
Giải thích các bước giải: