Cho số phức z có tích phần thực và ảo là 625. Gọi a là phần thực của số phức z/(3+4i) tính giá trị nhỏ nhất của |a|. Giải chi tiết luôn nha mọi người
Cho số phức z có tích phần thực và ảo là 625. Gọi a là phần thực của số phức z/(3+4i) tính giá trị nhỏ nhất của |a|. Giải chi tiết luôn nha mọi người
Đáp án:
Giá trị nhỏ nhất của $|a|=4\sqrt3$ khi $z=\pm\dfrac{50\sqrt3}{3}\pm\dfrac{25\sqrt3}2i$
Giải thích các bước giải:
Gọi $z=x+yi$
$\Rightarrow xy=625\Rightarrow x=\dfrac {625}y$ (1)
Xét $\dfrac{z}{3+4i}=\dfrac{(x+yi)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}=\dfrac{3x-4xi+3yi+4y}{25}$
$\Rightarrow$ phần thực của số phức trên là $a=\dfrac{3x+4y}{25}$ (2)
Thay (1) vào (2) ta được:
$a=\dfrac{3.\dfrac{625}y+4y}{25}=\dfrac{75}y+\dfrac{4y}{25}$
$|a|=\left|{\dfrac{75}y+\dfrac{4y}{25}}\right|$
do $\dfrac{75}y,\dfrac{4y}{25}$ cùng dấu nên
$|a|=\left|{\dfrac{75}y+\dfrac{4y}{25}}\right|=\left|{\dfrac{75}y}\right|+\left|{\dfrac{4y}{25}}\right|\ge2\sqrt{\dfrac{75}y.\dfrac{4y}{25}}=4\sqrt3$ (bất đẳng thức Cosi)
Vậy giá trị nhỏ nhất $|a|=4\sqrt3$ khi $\dfrac{75}{y}=\dfrac{4y}{25}\Rightarrow y=\pm\dfrac{25\sqrt3}2,x=\pm\dfrac{50}{\sqrt3}$ hay $z=\pm\dfrac{50\sqrt3}{3}\pm\dfrac{25\sqrt3}2i$.
Đáp án:
Giá trị nhỏ nhất của $|a|=4\sqrt3$ khi $z=\pm\dfrac{50\sqrt3}{3}\pm\dfrac{25\sqrt3}2i$
Giải thích các bước giải:
Gọi $z=x+yi$
$\Rightarrow xy=625\Rightarrow x=\dfrac {625}y$ (1)
Xét $\dfrac{z}{3+4i}=\dfrac{(x+yi)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}=\dfrac{3x-4xi+3yi+4y}{25}$
$\Rightarrow$ phần thực của số phức trên là $a=\dfrac{3x+4y}{25}$ (2)
Thay (1) vào (2) ta được:
$a=\dfrac{3.\dfrac{625}y+4y}{25}=\dfrac{75}y+\dfrac{4y}{25}$
$|a|=\left|{\dfrac{75}y+\dfrac{4y}{25}}\right|$
do $\dfrac{75}y,\dfrac{4y}{25}$ cùng dấu nên
$|a|=\left|{\dfrac{75}y+\dfrac{4y}{25}}\right|=\left|{\dfrac{75}y}\right|+\left|{\dfrac{4y}{25}}\right|\ge2\sqrt{\dfrac{75}y.\dfrac{4y}{25}}=4\sqrt3$ (bất đẳng thức Cosi)
Vậy giá trị nhỏ nhất $|a|=4\sqrt3$ khi $\dfrac{75}{y}=\dfrac{4y}{25}\Rightarrow y=\pm\dfrac{25\sqrt3}2,x=\pm\dfrac{50}{\sqrt3}$ hay $z=\pm\dfrac{50\sqrt3}{3}\pm\dfrac{25\sqrt3}2i$.