Cho $t = tanx-cotx$, tính $sin^{2}x.$$cos^{2}x$ theo $t$

Đáp án: `sin^2x.cos^2x=\frac{1}{t^2+4}`

Giải:

Ta có:

`t=tanx-cotx`

⇒ `t^2=tan^2x-2tanx.cotx+cot^2x`

⇔ `t^2=tan^2+cot^2-2.1`

⇔ `t^2=\frac{sin^2x}{cos^2x}+\frac{cos^2x}{sin^2x}-2`

⇔ `t^2+2=\frac{sin^2x}{cos^2x}+\frac{cos^2x}{sin^2x}`

⇔ `t^2+2=\frac{sin^4x+cos^4x}{sin^2x.cos^2x}`

⇔ `t^2+2=\frac{(sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2x.cos^2x}{sin^2x.cos^2x}`

⇔ `t^2+2=\frac{1-2sin^2x.cos^2x}{sin^2x.cos^2x} \ (1)`

Đặt `sin^2x.cos^2x=a`

`(1) ⇔ t^2+2=\frac{1-2a}{a}`

⇔ `t^2a+2a=1-2a`

⇔ `(t^2+4)a=1`

⇔ `a=\frac{1}{t^2+4}`

Vậy `sin^2x.cos^2x=\frac{1}{t^2+4}`