Cho tam giác ABC (AB>AC) có đường cao AH . Gọi M , N ,P lần lượt là trung điểm của BC , CA , AB . Chứng minh :
a, NP là đường trung trực của AH
b, MNPH là hình thang cân
Cho tam giác ABC (AB>AC) có đường cao AH . Gọi M , N ,P lần lượt là trung điểm của BC , CA , AB . Chứng minh :
a, NP là đường trung trực của AH
b, MNPH là hình thang cân
Giải thích các bước giải:
a)
gọi I là giao điểm của AH và PN
xét tam giác ABC có:
AP=BF và AN=NC
Do đó PN là đường trung bình của tam giác ABC
=>PN//BC mà AH vuông góc BC
=>PN vuông góc AH (1)
ta có : PN//BC mà PI thuộc PN
==> PI//BC
Xét tam giác AHB có:
PI//BC và AP=BP
=>AI=IH (2)
TỪ (1);(2) =>PN là đg trung trực của AH.
b)
nối H với N và P với M .
HM thuộc BC => HM //PN
=> tứ giác MNPH là hình thang
Xét tam giác ABC có:
AP=PB và BM =MC .
=>PM là đường trung bình của tam giác ABC
=>PM=1/2.AC (3)
Ta có: tam giác AHC vuông tại H có HN là đg trung tuyến ứng với cạnh huyền AC
=> HN =1/2 AC (4)
Từ (3) và (4)=>PM=HN (vì cùng =1/2 AC).
hình thang MNPH có:
PM=HN => MNPH là hình thang cân.
CHÚC BẠN HỌC TỐT !!
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
{M là trung điểm của ABN là trung điểm của AC
⇒ MN là đường trung bình của ΔABC
⇒ MN // BC
⇒ MN // HP
⇒ Tứ giác MNPH là hình thang (I)
Vì AH là đường cao của ΔABC
⇒ AH ⊥ BC
⇒ AHCˆ=900
⇒ ΔACH vuông tại H (1)
Vì N là trung điểm của AC
⇒ HN là đường trung tuyến của ΔABC (2)
Từ (1), (2) ⇒ HN = 12AC (Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)
ΔABC có
{ M là trung điểm của AB P là trung điểm của BC
⇒ MP là đường trung bình của ΔABC
⇒ MP = 12AC
Như vậy ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪HN = 12ACMP = 12AC
⇒ HN = MP (II)
Từ (I), (II) ⇒ Tứ giác MNPH là hình thang cân (Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân) (đpcm)
Lời cuối : Chúc bạn học tốt!!!@@@