cho tam giác ABC (AB=AC) nội tiếp đường tròn (O). các đường cao AG, BE, CF cắt nhau tại H.
a, c/m tứ giác AEHF nội tiếp, xác định tâm của đường tròn đó.
b, c/m AF.AC=AH.AG
c, c/m GE là tiếp tuyến của đường tròn (I)
d, cho bán kính (I) là 2cm, góc BAC=50 độ. Tính độ dài cung FHE của đường tròn (I)
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Theo đề :
$Đường$ $cao$ $CF$ vuông góc với $AB$ tại $F$ $\Rightarrow$ $\widehat{AFC}$ = $90$ độ
$Đường$ $cao$ $BE$ vuông góc với $AC$ tại $E$ $\Rightarrow$ $\widehat{AEB}$ = $90$ độ
$\Rightarrow$ $\widehat{AFC}$ + $\widehat{AEB}$ = $180$ độ
Xét Tứ giác $AEHF$ có : $\widehat{AFC}$ + $\widehat{AEB}$ = $180$ độ ( Chứng minh trên )
Mà $\widehat{AFC}$ và $\widehat{AEB}$ là 2 góc đối nhau
$\Rightarrow$ Tứ giác $AEHF$ là tứ giác nội tiếp
b) Ta có : $\widehat{BFC}$ = $90$ độ ( Vì $đường$ $cao$ $CF$ vuông góc với $AB$ tại $F$ )
$\widehat{BEC}$ = $90$ độ ( Vì $đường$ $cao$ $BE$ vuông góc với $AC$ tại $E$ )
$\Rightarrow$ $\widehat{BFC}$ = $\widehat{BEC}$ = 90 độ
Xét Tứ giác $BFEC$ có : $\widehat{BFC}$ = $\widehat{BEC}$ = 90 độ ( Chưng minh trên )
Mà $\widehat{BFC}$ và $\widehat{BEC}$ là 2 góc kề cạnh $FE$ cùng nhìn $BC$
$\Rightarrow$ Tứ giác $BFEC$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow$ $\widehat{FEB}$ = $\widehat{FCB}$ ( Tính chất tứ giác nội tiếp ) (1)
Mà Tứ giác $AEHF$ là tứ giác nội tiếp ( Chứng minh câu a)
$\Rightarrow$ $\widehat{FAH}$ = $\widehat{FEB}$ ( Tính chất tứ giác nội tiếp ) (2)
Từ (1) và (2) : $\Rightarrow$ $\widehat{FAH}$ = $\widehat{FCB}$ ( Cùng bằng $\widehat{FEB}$ )
Xét Δ $AFH$ và Δ $AGC$ có : $\widehat{FAH}$ = $\widehat{FCB}$ ( Chứng minh trên )
$\Rightarrow$ Δ $AFH$ đồng dạng Δ $AGC$
$\Rightarrow$ $\frac{AF}{AG}$ = $\frac{AH}{AC}$ $\Rightarrow$ $AF.AC$ = $AH.AG$