Cho tam giác ABC, các đường cao AH, BM, CN. Chứng minh rằng nếu 1/AH^2=1/BM^2+1/CN^2 thì tam giác ABC vuông tại A

0 bình luận về “Cho tam giác ABC, các đường cao AH, BM, CN. Chứng minh rằng nếu 1/AH^2=1/BM^2+1/CN^2 thì tam giác ABC vuông tại A”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   $\frac{1}{AH²} = \frac{1}{BM²} + \frac{1}{CN²} ⇔\frac{BM.CN}{AH²} = \frac{BM² + CN²}{BM.CN} (1)$

   $ Δ$ vuông $ABH ≈ Δ$ vuông $CBN$ (chung $∠B$)

   $ ⇒ \frac{CN}{AH} = \frac{BC}{AB} (*)$. Tương tự : $ \frac{BM}{AH} = \frac{BC}{AC}(**)$

   $(*).(**) : ⇒ \frac{BM.CN}{AH²} = \frac{BC²}{AB.AC} (2)$

   $(1); (2) ⇒ \frac{BC²}{AB.AC} = \frac{BM² + CN²}{BM.CN} $

   $ ⇔ \frac{AB² + AC² – 2AB.AC.cos(BAC)}{AB.AC} = \frac{BM² + CN²}{BM.CN} $

   $ ⇔ \frac{AB}{AC} + \frac{AC}{AB} – 2cos(BAC) = \frac{BM}{CN} + \frac{CN}{BM} (3)$

   $ Δ$ vuông $ABM ≈ Δ$ vuông $ACN ⇒ \frac{AB}{AC} = \frac{BM}{CN} (4)$

   Từ $(3); (4) ⇒ cos(BAC) = 0 ⇔ BAC = 90^{0} (đpcm)$

   Bình luận