Cho tam giác ABC cân tại A có đường trung tuyến AM.Gọi D là điểm đối xứng với A qua M.Gọi R là trung điểm của MC,E là điểm đối xứng của D qua R.
a)Chứng minh ABDC là hình thoi
b)Chứng minh AMCE là hình chữ nhật
c)Cho AM và BE cắt tại I.Chứng minh I trung điểm của BE
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Vì ΔABCΔABC cân tại A (gt)
AM là đường trung tuyến
⇒⇒ AM cx là đường cao
⇒⇒AM⊥BCAM⊥BC
Xét tứ giác ABDC có:
MB = MC (AM là đường trung tuyến (gt))
MA = MD (D đối xứng với A qua M (gt))
AD giao BC tại M
⇒⇒Tứ giác ABDC là hình bình hành (dhnb)
mà AM⊥BCAM⊥BC (cmt)
⇒⇒ Tứ giác ABDC là hình thoi (dhnb)
b) Xét ΔADEΔADE có:
MA = MD (D đối xứng với A qua M (gt))
KD = KE (E đối xứng với D qua K (gt))
⇒⇒MK là đường trung bình của ΔADEΔADE (đ/n)
⇒⇒MK // AE ⇒⇒ MC // AE
và MK=12AEMK=12AE
mà MK=12MCMK=12MC (K là trung diểm MC (gt))
⇒⇒MC = AE
Xét tứ giác AMCE có:
MC = AE (cmt)
MC // AE (cmt)
⇒⇒Tứ giác AMCE là hình bình hành (dhnb)
mà AM⊥BCAM⊥BC (a)
⇒⇒Tứ giác AMCE là hình chữ nhật (dhnb)
C) Ta có:
MC // AE ⇒⇒ BM // AE
MC = AE mà MC = BM ⇒⇒BM = AE
Xét tứ giác ABME có:
BM // AE (cmt)
BM = AE (cmt)
⇒⇒Tứ giác ABME là hình bình hành (dhnb)
mà AM giao BE tại I (gt)
⇒⇒I là trung điểm BE (t/c)
d) Gọi F là giao điểm của AC và ME
Vì AMCE là hình chữ nhật (dhnb)
⇒⇒MF=12ACMF=12AC
hay MF là đường trung tuyến
Xét ΔAMCΔAMC có:
MF; AK; CI là đường trung tuyến
⇒⇒ME; AK; CI đồng qui
Đáp án Cm ABDc là hinh thoi
Lời giai chi tiét
Có A đối xứng với D qua M
Suy ra AM = MD và AM vuông góc với BC tại M
Xét tứ giác ABDC có
M là trung điểm của AD
M là trung điểm của BC
Suy ra tứ giác ABDC là hình bình hành
Xét tam giác cân ABC có AM là đường trung tuyến đồng thời là tia phân giác
Xét hình bình hành ABDC có
AM là tia phân giác của góc BAC
Suy ra hình bình hành ABDC là hình thoi
b, xét tam giác ADE có
M là trung điểm của AD
R là trung điểm của DC
Suy ra MR là một đường trung bình cảu tam giác ADE
Suy ra MR//AE hay MC // AE ,MR =1/2 AE (1)
Có R là là trung điểm của
Suy ra MR = 1/2 MC (2)
Từ 1 và 2 suy ra MC =AE
Xét tứ giác AMCE có
AE=MC
AE//MC
Suy ra tứ giác AMCE là hình bình hành
Có AD vuông góc BC tại M
Suy ra AMC = 90
xét hình bình hành AMCE cos
AMC =90
Suy ra hình binhf hành AMCR là hình chữ nhật
Xét hình chữ nhật AMCE có
AM//CE mà I thuộc AM
Suy ra IM//CE
Xét tam giác BCE có
M là trung điểm của BC
MI//CE
Suy ra I là trung điểm của BE