Cho tam giác ABC cân tại A có góc A<90 độ.KẺ BH vuông góc với AC,CK vuông góc với AC.Gọi O là giao điểm của BH và CK a)Chứng minh tam giác ABH=tam giác ACK b)Chứng minh tam giác OBC cân c)Tam giác OBK=tam giác OCK d)Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A lấy I sao cho IB=IC.Chứng minh 3 điểm A,O,I thẳng hàng
a) Xét 2 tam giác vuông ABH và ACK có:
AB=AC
ˆBADchungBAD^chung
Suy ra: ΔABH =ΔACK(cạnh huyền- góc nhọn)
b) Do ΔABH =ΔACK nên AH=AK ⇒ HC=KB
Xét 2 tam giác vuông KOB và HOC có:
KB=HC
ˆBOK=ˆCOHBOK^=COH^ (đối đỉnh)
Suy ra: ΔKOB=ΔHOC (góc nhọn – cạnh góc vuông)
⇒OK=OH
c) ΔABC có 2 đường cao BH và CK cắt nhau tại O
⇒AO là đường cao còn lại
⇒AO⊥BC
gọi M là giao của AO và BC ⇒AM là trugn trực của BC
ΔIBC cân tại I ⇒ IM là trung trực của BC
⇒ A,I,M thẳng hàng
Hay A,O,M thẳng hàng
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a)
Xét ΔABH và ΔACK có:
∠A là góc chung
AB = AC ( vì ΔABC cân tại A)
∠AKC = ∠BHA = 90 độ (vì KC ⊥AB ; BH ⊥ AC)
=> ΔABH = ΔACK (cạnh huyền – góc nhọn)
Vậy…
b) Vì ΔABC cân tại A nên: ∠ABC = ∠ACB
Ta có: ΔABH = ΔACK (phần a)
=>∠ABH = ∠ACK (hai góc tương ứng)
Lại có: ∠ABC= ∠ABH + ∠HBC
∠ACB = ∠ACK + ∠KCB
Mà ∠ABC= ∠ACB ; ∠ABH = ∠ACK
=> ∠HBC = ∠KCB hay ∠OBC = ∠OCB
Xét ΔOBC có: ∠OBC = ∠OCB
=> ΔBOC cân tại O
Vậy….
c) Xét ΔOBK và ΔOCH có:
OB = OC (vì ΔOBC cân tại O)
∠KBO = ∠HOC (chứng minh trên)
∠CKB = ∠BHC = 90 độ ( vì KC ⊥AB; BH ⊥AC)
Vậy ΔOBK = ΔOCH (cạnh huyền – góc nhọn)
d) Ta có: ΔABC có 2 đường cao là: CK và BH => AO là đường cao của ΔABC
Gọi điểm giao nhau của BC và AO là M
Vì OA là đường cao của ΔABC => AM ⊥ BC (2)
Xét ΔIMB và ΔIMC có:
IB = IC ( giả thiết)
IM là cạnh chung
∠IBM= ∠ICM ( vì ΔBIC là ΔCân)
=> ΔIMB = ΔIMC (c.g.c)
=> BM = CM ( hai cạnh tương ứng )
=> ∠IBM = ∠IMC = 180/2= 90 độ
=> IM là đường trung trực của BC (1)
Từ (1) và (2) => A,I,M thẳng hàng hay A,O,M thẳng hàng
Vậy….