Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH và BK, biết BC = 2a, AH = b. a) Tính sinB, cosB theo a và h, tính diện tích tam giác ABC theo a và góc B b)

a) Ta có: $∆ABC$ cân tại $A$, đường cao $AH$

$\Rightarrow BH = HC =\dfrac{1}{2}BC = a$

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

$\Rightarrow AB=\sqrt{AH^2 + BH^2} =\sqrt{a^2 + h^2}$

Ta được:

$\sin B =\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{h}{\sqrt{a^2 + h^2}}$

$\cos B = \dfrac{BH}{AB}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2 + h^2}}$

$tan B = \dfrac{AH}{BH}$

$\Rightarrow AH = BH.\tan B = a.\tan B$

Do đó:

$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.a.\tan B.2a = a^2\tan B$

b) Gọi $M$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow AM = MB =\dfrac{1}{2}AB = \dfrac{\sqrt{a^2 + h^2}}{2}$

$\Rightarrow OM\perp AB$

Ta có: $∆AMO\sim ∆AHB\, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{OA}{AB}=\dfrac{AM}{AH}$

$\Rightarrow OA = \dfrac{AB.AM}{AH}$

$\Rightarrow OA = \dfrac{\sqrt{a^2 + h^2}.\dfrac{\sqrt{a^2 + h^2}}{2}}{h}=\dfrac{a^2 + h^2}{2h}$

c) Ta có:

$AB = AC = 1$

$AC.BK = AH.BC = 2S_{ABC}$

$\Rightarrow BK = \dfrac{AH.BC}{AC}$

$\Rightarrow BK = \dfrac{2AH.BH}{1}=2AH.BH$

$\Rightarrow BK \leq 2.\dfrac{AH^2 + BH^2}{2}= AB^2 = 1$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow AH = BH \Leftrightarrow ∆ABC$ vuông cân tại $A$