Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH và BK, biết BC = 2a, AH = b.
a) Tính sinB, cosB theo a và h, tính diện tích tam giác ABC theo a và góc B
b) Gọi O là giao điểm của đường trung trực cạnh AB với AH. Tính OA theo a, h
c) Khi cho AB = 1, tìm giá trị lớn nhất của BK
a) Ta có: $∆ABC$ cân tại $A$, đường cao $AH$
$\Rightarrow BH = HC =\dfrac{1}{2}BC = a$
Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$AB^2 = AH^2 + BH^2$
$\Rightarrow AB=\sqrt{AH^2 + BH^2} =\sqrt{a^2 + h^2}$
Ta được:
$\sin B =\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{h}{\sqrt{a^2 + h^2}}$
$\cos B = \dfrac{BH}{AB}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2 + h^2}}$
$tan B = \dfrac{AH}{BH}$
$\Rightarrow AH = BH.\tan B = a.\tan B$
Do đó:
$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.a.\tan B.2a = a^2\tan B$
b) Gọi $M$ là trung điểm $AB$
$\Rightarrow AM = MB =\dfrac{1}{2}AB = \dfrac{\sqrt{a^2 + h^2}}{2}$
$\Rightarrow OM\perp AB$
Ta có: $∆AMO\sim ∆AHB\, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{OA}{AB}=\dfrac{AM}{AH}$
$\Rightarrow OA = \dfrac{AB.AM}{AH}$
$\Rightarrow OA = \dfrac{\sqrt{a^2 + h^2}.\dfrac{\sqrt{a^2 + h^2}}{2}}{h}=\dfrac{a^2 + h^2}{2h}$
c) Ta có:
$AB = AC = 1$
$AC.BK = AH.BC = 2S_{ABC}$
$\Rightarrow BK = \dfrac{AH.BC}{AC}$
$\Rightarrow BK = \dfrac{2AH.BH}{1}=2AH.BH$
$\Rightarrow BK \leq 2.\dfrac{AH^2 + BH^2}{2}= AB^2 = 1$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow AH = BH \Leftrightarrow ∆ABC$ vuông cân tại $A$