Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH và BK. Chứng minh: 1/BK^2= 1/BC^2 + 1/ 4AH^2

0 bình luận về “Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH và BK. Chứng minh: 1/BK^2= 1/BC^2 + 1/ 4AH^2”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Từ B kẻ BD vuông góc với BD , cắt CA tại D. 

   => Tam giác BCD vuông tại B có đường trung tuyến AB

   => AB = AC = AD

   Ta có : \(\begin{cases}AH\text{//}BD\\AC=AD\end{cases}\) => AH là đường trung bình của tam giác BCD

   => \(AH=\frac{1}{2}BD\Rightarrow AH^2=\frac{BD^2}{4}\Rightarrow BD^2=4AH^2\)

   Áp dụng hệ thức về cạnh trong tam giác vuông BDC có : 

   \(\frac{1}{BK^2}=\frac{1}{BC^2}+\frac{1}{BD^2}\Leftrightarrow\frac{1}{BK^2}=\frac{1}{BC^2}+\frac{1}{4AH^2}\) 

   Trả lời

2. Gọi $E$ là điểm đối xứng với $C$ qua $A$

   Ta có: $AE= AC$

   $AC = AB$

   $E,A,C$ thẳng hàng (cách dựng)

   $\Rightarrow ∆BEC$ vuông tại $B$

   $\Rightarrow EB\perp BC$

   mà $AH\perp BC$

   $\Rightarrow AH//BE$

   Lại có $AE = AC$

   $\Rightarrow AH$ là đường trung bình

   $\Rightarrow BE = 2AH$

   Áp dụng hệ thức lượng trong $∆BEC$ vuông tại $B$, đường cao $BK$ ta được:

   $\dfrac{1}{BK^2} = \dfrac{1}{BC^2} + \dfrac{1}{BE^2}$

   mà $BE = 2AH$ $(cmt)$

   nên $\dfrac{1}{BK^2} = \dfrac{1}{BC^2} + \dfrac{1}{(2AH)^2}$

   hay $\dfrac{1}{BK^2} = \dfrac{1}{BC^2} + \dfrac{1}{4AH^2}$ $(đpcm)$

   Trả lời