Cho tam giác ABC cân tại A gọi Gọi M N I lần lượt là trung điểm của AC AB BC
a) Chứng minh tứ giác BCMN là hình thang cân
b) Trên tia đối của tia mn lấy điểm E sao cho NE = NM Trên tia đối IM lấy F sao cho ti IN=IF chứng minh B là trung điểm của EF
a) Xét \(\bigtriangleup ABC\) có:
\(\left.\begin{matrix} AN = NB (gt) & & \\ AM = MC (gt) & & \end{matrix}\right\}\)
=> NM là đường trung bình của \(\bigtriangleup ABC\)
=> NM // BC
=> Tứ giác BCMN là ht (1)
Ta có: \(AN = \frac{1}{2}AB , AM = \frac{1}{2}AC\)
Mà : AB = AC (gt)
Nên AN = AM
=> \(\bigtriangleup AMN\) cân tại A
=> \(\widehat{ANM} = \widehat{AMN}\)
Ta lại có:
\(\widehat{ANM} + \widehat{MNB} = 180 (kb)\)
\(\widehat{AMN} + \widehat{NMC} = 180 (kb)\)
Mà : \(\widehat{ANM} = \widehat{AMN} (cmt)\)
Nên: \(\widehat{MNB} = \widehat{NMC} (2)\)
Từ (1) và (2) => Tứ giác BCMN là htc
b) Xét \(\bigtriangleup ENB\) và \(\bigtriangleup MNA\)
Ta có: \(\left.\begin{matrix} EN = NM (gt) & & & \\ \widehat{ENB} = \widehat{MNA}(đđ) & & & \\ NB = AM (NB = \frac{1}{2}AB, AM = \frac{1}{2}AC, AB = AC) & & & \end{matrix}\right\}\)
=> \(\bigtriangleup ENB = \bigtriangleup MNA (c.g.c)\)
=> \(\widehat{B_{1}} = \widehat{A}\)
Ta chứng minh được: IM là đường trung bình của \(\bigtriangleup ABC\)
=> IM = \(\frac{1}{2}\)AB = NB
Mà: NM = IF
Nên: IM = IF
Xét \(\bigtriangleup BIF\) và \(\bigtriangleup CIM\)
Ta có: \(\left.\begin{matrix} BI = IC (gt) & & & \\ \widehat{BIF} = \widehat{CIF} (đđ) & & & \\ IF = IM (cmt) & & & \end{matrix}\right\}\)
=> \(\bigtriangleup BIF = \bigtriangleup CIM (c.g.c)\)
=> \(\widehat{B_{3}} = \widehat{C}\)
Mặt khác: \(\widehat{A} + \widehat{B_{2}} + \widehat{C} = 180^{\circ}\) (tổng ba góc trong tam giác)
Hay: \(\widehat{B_{1}} + \widehat{B_{2}} + \widehat{B_{3}} = 180^{\circ}\)
=> Ba điểm E,B,F thẳng hàng (3)
Xét \(\bigtriangleup FEM\), có:
\(\left.\begin{matrix} FI = IM (cmt) & & \\ BI // EM(BI \epsilon BC, EM\epsilon NM, BC // NM ) & & \end{matrix}\right\}\)
=> FB = BE (4)
Từ (3) và (4) => B là trung điểm của FE