Cho tam giác ABC cân tại A, hai trung tuyến BM, CN cắt nhau tại K . Chướng minh
a)tam giác BNC = tam giác CMB
b) BKC cân tại K
c) MN // BC
Cho tam giác ABC cân tại A, hai trung tuyến BM, CN cắt nhau tại K . Chướng minh
a)tam giác BNC = tam giác CMB
b) BKC cân tại K
c) MN // BC
a) Xét `ΔBCN` và Δ`CMB` có :
`BC` chung
`∠ B = ∠ C` ( hai góc đáy của tam giác cân )
`BN = CM` ( do `BN = 1/2 AB = 1/2 AC = CM` )
⇒ `ΔBCN` = `ΔCMB` ( c.g.c ) ( 1 )
b) ( `1` ) ⇒ `∠ BCN` = `∠ CBM` ( 2 góc tương ứng )
Vì `ΔBKC` có `∠ KBC` = `∠ KCB`
⇒ `ΔBKC` cân tại `K`
c) Ta có: AN=AC-BN
AM=AB-CN
Mà AB=AC (ΔABC cân tại A)
BN=CM (ΔBNC=CMB)
⇒ AM=AN
⇒ΔAMN cân tại A
⇒∠ AMN=180 −∠ `Aˆ2`
Lại có: ΔABC cân tại A
⇒∠ ACB =180 −Aˆ2
⇒ ∠ AMN =∠ ACB
Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị
⇒ MN // BC
a. Ta có: BN=1/2 . AC (BN là đường trung tuyến của tam giác ABC)
CM=1/2 . AB (CM là đường trung tuyến của tam giác ABC)
mà AB=AC (tam giác ABC cân tại A)
⇒⇒ BN=CM
Xét ΔΔ BNC và ΔΔ CMB có:
BN=CM (chứng minh trên)
NBCˆ=MCBˆNBC^=MCB^ (ΔΔABC cân tại A)
BC chung
⇒ΔBNC=ΔCMB⇒ΔBNC=ΔCMB (c.g.c)
b. ΔBNC=ΔCMBΔBNC=ΔCMB (cau a)
⇒⇒ BCNˆ=CBMˆBCN^=CBM^
⇒Δ⇒ΔBKC cân tại K
c. Ta có: AN=AC-BN
AM=AB-CN
mà AB=AC (ΔΔABC cân tại A)
BN=CM (ΔBNC=ΔCMBΔBNC=ΔCMB)
⇒⇒ AM=AN
⇒Δ⇒ΔAMN cân tại A
⇒AMNˆ=180o−Aˆ2⇒AMN^=180o−A^2 (1)
Ta lại có: ΔΔABC cân tại A
⇒ACBˆ=180o−Aˆ2⇒ACB^=180o−A^2 (2)
Từ (1) và (2) ⇒⇒ AMNˆ=ACBˆAMN^=ACB^ mà 2 góc này ở vị trí đồng vị
⇒⇒ MN // BC