Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối BA,CA lấy 2 điểm D, E sao cho BD=CE
a) Chứng minh rằng: DE// BC
b) Từ D kẻ DM vuông góc với BC, từ E kẻ EN vuông góc với BC. Chứng minh rằng: DM= EN
c) Chứng minh tam giác AMN là tam giác cân
d) Từ B,C kẻ đường vuông góc AM, AN cắt nhau tại I. Chứng minh rằng AI là tia phân giác chung của góc BAC và góc MAN
a) $Ta$ $có$ ΔABC $cân$ $ở$ $∠A$
=> $∠ABC$ = $∠ACB$ = $180$ – $∠BAC$ (1)
$Ta$ $có$ $BD$ = $CE$ ( $gt$ ) ; $AB$ = $AC$ ( $gt$ )
$mà$ $AB$ + $BD$ = $AD$ $và$ $AC$ + $CE$ = $AE$
=> $AD$ = $AE$
=> $ΔADE$ $cân$ $tại$ $A$ ( $Có hai góc bằng nhau$ )
=> $∠ADE$ = $∠AED$ = ( $180$ $độ$ – $DAE$ ) : $2$ (2)
$Từ$ (1) $và$ (2) => $∠ABC$ = $∠ADE$ = $∠ACB$ = $∠AED$
$mà$ $∠ABC$ $và$ $∠ADE$ $ở$ $vị$ $trí$ $đồng$ $vị$
=> $BC$ // $DE$ ( $đpcm$ )
b) $ta$ $có$ $∠ABC$= $∠MBD$ ( $đối đỉnh$ )
$∠ACB$ = $∠NCE$ ( $đối đỉnh$ )
$mà$ $∠ABC$ = $∠ACB$ => $∠MBD$ = $∠NCE$
$Xét$ $hai$ $tam$ $giác$ $vuông$ ΔBMD $và$ ΔCNE
$có$ $BD$ = $CE$ ( $gt$ )
$∠MBD$ = $∠NCE$ ( $c/m trên$ )
=> $ΔBMD$ = $ΔCNE$ ( $Cạnh huyền$ – $Góc nhọn$ )
=> $DM$ = $EN$ ( $Hai cạnh tương ứng$ )
c) $Gọi$ $giao$ $điểm$ $của$ $AM$ $và$ $BI$ $là$ $E$
$giao$ $điểm$ $của$ $AN$ $và$ $CI$ $là$ $F$
$Vì$ ΔBMD = ΔCNE ( $chứng minh trên$ ) => $BM$ = $CN$ ( $Hai cạnh tương ứng$ )
$Ta$ $có$ : $∠ABC$ = $∠ACB$ ( $gt$ )
$mà$ $∠ABC$ + $∠ABM$= $180$ $độ$ ( $kề bù$ )
$và$ $∠ACB$ + $∠ACN$ = $180$ $độ$ ( $kề bù$ )
=> $∠ABM$ = $∠ACN$
$Xét$ ΔABM $VÀ$ ΔACN $có$ :
$AB$ = $AC$ ( $gt$)
$∠ABM$ = $∠ACN$ ( $cmt$ )
$BM$ = $CM$ ( $cmt$ )
=> $ΔABM$ = $ΔACN$ ( $c−g−c$ )
=> $∠AMB$ = $∠ ANC$ ( $hai góc tương ứng$ )
=> ΔAMN $Cân$ $ở$ $A$ ( $có hai góc bằng nhau$ ) ( $đpcm$ )