Cho tam giác ABC cân tại A , trên tia đối của tia BC lấy M sao cho BM=CN
a, Chứng minh tam giác AMN là tam giác cân .
b,Kẻ BE vuông góc với AM ( F thuộc AM ) , CF vuông góc với AN ( F thuộc AN ) . Chứng minh tam giác BME = tam giác CNF
c, BE và CF kéo dài cắt nhau tại O . Chứng minh AO là tia phân giác của góc MAN
a) Vì ΔABC cân tại A
⇒ $\hat{ABC}$ = $\hat{ACB}$
`⇒AB=AC`
Mà $\hat{ABC}$ + $\hat{ABM}$ = `180^0`
$\hat{ACB}$ + $\hat{ACN}$ = `180^0`
⇒ $\hat{ABM}$ = $\hat{ACN}$
Xét ΔAMB và ΔANC
`AB=AC`
`MB=CN`
$\hat{ABM}$ = $\hat{ACN}$
`⇒ΔAMB=ΔANC` (c.g.c)
b) ΔAMN cân tại A
`M=N`
`MB=CN`
$\hat{MEB}$ = $\hat{CFN}$ = `90^0`
`⇒ΔBME=ΔCNE` (cạnh huyền_góc nhọn)
c) Vì ΔBME=ΔCNE (cmt)
`⇒ME=EN`
`⇒AE=AM-EM=AN-EN=AF`
Xét ΔAEO và ΔAFO
`AE=AF`
`OA` chung
$\hat{AEO}$ = $\hat{AFO}$ = 90
`⇒ΔAEO=ΔAFO` (cạnh huyền_cạnh góc vuông)
⇒ $\hat{EAD}$ = $\hat{EAO}$
⇒`AO` là phân giác $\hat{MAN}$
Đáp án + giải thích bước giải :
`a)`
Ta có : `hat{ABC} + hat{ABM} = 180^o` (2 góc kề bù)
Ta có : `hat{ACB} + hat{ACN} = 180^o` (2 góc kề bù)
mà `hat{ABC} = hat{ACB}` (Vì `ΔABC` cân tại `A`)
`-> hat{ABN} = hat{ACN}`
Xét `ΔABN` và `ΔACN` có :
`hat{ABN} = hat{ACN} (cmt)`
`AB =AC` (Vì `ΔABC` cân tại `A`)
`BM = CN (GT)`
`-> ΔABN = ΔACN (c.g.c)`
`-> AM = AN` (2 cạnh tương ứng)
`-> ΔAMN` cân tại `A`
`b)`
Xét `ΔBME` và `ΔCNF` có :
`hat{MEB} = hat{NFC} = 90^o`
`BM = CN (GT)`
`hat{M} = hat{N}` (Vì `ΔAMN` cân tại `A`)
`-> ΔBME = ΔCNF (ch – gn)`
`c)`
Vì `ΔABM = ΔACN (cmt)`
`-> hat{MAB} = hat{NAC}` (2 góc tương ứng)
Xét `ΔABE` và `ΔACF` có
`hat{AEB} = hat{AFC} = 90^o`
`hat{MAB} = hat{NAC} (cmt)`
`AB = AC` (Vì `ΔABC` cân tại `A`)
`-> ΔABE = ΔACF (ch -gn)`
`-> hat{ABE} = hat{ACF}` (2 góc tương ứng)
Ta có : `hat{ABE} + hat{ABC} + hat{CBO} = 180^o`
Ta có : `hat{ACF} + hat{ACB} + hat{BCO} = 180^o`
mà `hat{ABE} = hat{ACF}, hat{ABC} = hat{ACB}`
`-> hat{CBO} = hat{BCO}`
`-> ΔOBC` cân tại `O`
Xét `ΔABO` và `ΔACO` có :
`AB =AC` (Vì `ΔABC` cân tại `A`)
`OB = OC` (Vì `ΔOBC` cân tại `O`)
`AO` chung
`-> ΔABO = ΔACO (c.c.c)`
`-> hat{BAO} = hat{CAO}` (2 góc tương ứng)
Ta có : `hat{MAB} + hat{BAO} = hat{MAO}`
Ta có : `hat{NAC} + hat{CAO} = hat{NAO}`
mà `hat{MAB} = hat{NAC}, hat{BAO} = hat{CAO}`
`-> hat{MAO} = hat{NAO}`
hay `AO` là tia p/g của `hat{MAN}`