Cho tam giác ABC. Chứng minh nếu $h_a+h_b+h_c=9r$ thì ABC là tam giác đều 07/11/2021 Bởi Arya Cho tam giác ABC. Chứng minh nếu $h_a+h_b+h_c=9r$ thì ABC là tam giác đều
ha+hb+hc= $\frac{2S}{a}$ +$\frac{2S}{b}$+$\frac{2S}{c}$≥$\frac{2S.9}{a+b+c}$ Mặt khác S=p.r=$\frac{a+b+c}{2}$ .r suy ra ha+hb+hc ≥ 9r Dấu “=” khi a=b=c => ABC là tam giác đều Bình luận
Đáp án: Giải thích các bước giải Ta có hệ thức (cái này bạn tự chứng minh): a.sinA + b.sinB + c.sinC = $h_{a}$+ $h_{b}$ +$h_{c}$ Ta có S = $\frac{1}{2}. b.c .SinA => Sin A = \frac{2S}{bc}$ Tương tự, ta cũng có SinB = $\frac{2S}{ac}$, SinC = $\frac{2S}{ab}$ => a.sinA + b.sinB + c.sinC = $h_{a}$+ $h_{b}$ +$h_{c}$ <=> a. $\frac{2S}{bc}$ + b. $\frac{2S}{ac}$ + c. $\frac{2S}{ab}$ = $\frac{2S}{a}$ +$\frac{2S}{b}$+ $\frac{2S}{c}$ <=> $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2 = 0$ Ta thấy: $(a-b)^2$ $\geq$ 0 $(b-c)^2$ $\geq$ 0 $(a-c)^2$ $\geq$ 0 => $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2 \geq$ 0 Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi a=b=c Vậy tam giác ABC là tam giác đều Bình luận
ha+hb+hc= $\frac{2S}{a}$ +$\frac{2S}{b}$+$\frac{2S}{c}$≥$\frac{2S.9}{a+b+c}$
Mặt khác S=p.r=$\frac{a+b+c}{2}$ .r
suy ra ha+hb+hc ≥ 9r
Dấu “=” khi a=b=c => ABC là tam giác đều
Đáp án:
Giải thích các bước giải
Ta có hệ thức (cái này bạn tự chứng minh): a.sinA + b.sinB + c.sinC = $h_{a}$+ $h_{b}$ +$h_{c}$
Ta có S = $\frac{1}{2}. b.c .SinA => Sin A = \frac{2S}{bc}$
Tương tự, ta cũng có SinB = $\frac{2S}{ac}$, SinC = $\frac{2S}{ab}$
=> a.sinA + b.sinB + c.sinC = $h_{a}$+ $h_{b}$ +$h_{c}$
<=> a. $\frac{2S}{bc}$ + b. $\frac{2S}{ac}$ + c. $\frac{2S}{ab}$ = $\frac{2S}{a}$ +$\frac{2S}{b}$+ $\frac{2S}{c}$
<=> $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2 = 0$
Ta thấy:
$(a-b)^2$ $\geq$ 0
$(b-c)^2$ $\geq$ 0
$(a-c)^2$ $\geq$ 0
=> $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2 \geq$ 0
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Vậy tam giác ABC là tam giác đều