Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng sin2A+ sin2B bé hơn hoặc bằng 2sinC 04/08/2021 Bởi Valentina Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng sin2A+ sin2B bé hơn hoặc bằng 2sinC
Giả sử bất đẳng thức trên đúng $\begin{array}{l}A + B + C = \pi \Rightarrow A + B = \pi – C \Rightarrow \sin \left( {A + B} \right) = \sin \left( {\pi – C} \right) = \sin C\\\sin 2A + \sin 2B \le 2\sin C\\ \Leftrightarrow 2\sin \left( {A + B} \right)\cos \left( {A – B} \right) \le 2\sin C\\ \Leftrightarrow 2\sin C\cos \left( {A – B} \right) \le 2\sin C\\ \Leftrightarrow \cos \left( {A – B} \right) \le 1\end{array}$(đúng) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $A=B$ Bình luận
Giả sử bất đẳng thức trên đúng
$\begin{array}{l}
A + B + C = \pi \Rightarrow A + B = \pi – C \Rightarrow \sin \left( {A + B} \right) = \sin \left( {\pi – C} \right) = \sin C\\
\sin 2A + \sin 2B \le 2\sin C\\
\Leftrightarrow 2\sin \left( {A + B} \right)\cos \left( {A – B} \right) \le 2\sin C\\
\Leftrightarrow 2\sin C\cos \left( {A – B} \right) \le 2\sin C\\
\Leftrightarrow \cos \left( {A – B} \right) \le 1
\end{array}$(đúng)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $A=B$