cho tam giác ABC có 3 đỉnh nằm trên đường tròn tâm O, tam giác có trực tâm H, trọng tâm G. đường kính AD. CHứng minh rằng:
a) DC//BH;
b)HG=2GO
cho tam giác ABC có 3 đỉnh nằm trên đường tròn tâm O, tam giác có trực tâm H, trọng tâm G. đường kính AD. CHứng minh rằng:
a) DC//BH;
b)HG=2GO
a) Ta có: $\widehat{ACD} = 90^o$ (nhìn đường kính $AD$)
$\Rightarrow DC\perp AC$
Ta lại có: $BH\perp AC$
$\Rightarrow BH//CD \,(\perp AC)$
b) Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $BC, AC$
$\Rightarrow MN//AB; \, MN=\dfrac{1}{2}AB$
$\Rightarrow \widehat{BAC} = \widehat{MNC}$ (đồng vị)
Ta lại có: $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $∆ABC$
$M, N$ là trung điểm $AB, AC$
$\Rightarrow OM\perp AB, \, ON\perp AC$
$\Rightarrow \widehat{ONM} + \widehat{MNC} = 90^o$
Mặt khác: $\widehat{BAC} + \widehat{ABH} = 90^o$ $(BH\perp AC)$
Do đó $\widehat{ONM} = \widehat{ABH}$
Chứng minh tương tự, ta được:
$\widehat{OMN} = \widehat{HAB}$
Xét $∆HAB$ và $∆OMN$ có:
$\widehat{ONM} = \widehat{ABH}$ $(cmt)$
$\widehat{ONM} = \widehat{ABH}$ $(cmt)$
Do đó $∆HAB \sim ∆OMN \,(g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AH}{OM} = \dfrac{AB}{MN} = 2$
Ta lại có: $\dfrac{AG}{GM} = 2$
$\Rightarrow \dfrac{AH}{OM} = \dfrac{AG}{GM}$
Xét $∆HAG$ và $∆OMG$ có:
$\widehat{HAG} = \widehat{OMG}$ (so le trong)
$\dfrac{AH}{OM} = \dfrac{AG}{GM}$ $(cmt)$
Do đó $∆HAG\sim ∆OMG\,(c.g.c)$
$\Rightarrow \dfrac{HG}{OG} = \dfrac{AG}{GM} = 2$
$\Rightarrow HG = 2OG$