Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn A =60 độ các đường cao AD BE,CF cắt nhau tại H, K là trung điểm của AH
a, c/m AE/AF = AB/AC và EF =1/2 BC
b, c/m EKF = 120 độ và tính AH biết BC =12cm
c, c/m HD/AD + HE/ BE + HF/CF =1
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn A =60 độ các đường cao AD BE,CF cắt nhau tại H, K là trung điểm của AH
a, c/m AE/AF = AB/AC và EF =1/2 BC
b, c/m EKF = 120 độ và tính AH biết BC =12cm
c, c/m HD/AD + HE/ BE + HF/CF =1
Giải thích các bước giải:
a,
Hai tam giác AFC và AEB đồng dạng (g.g)
Do đó:\[\frac{{AF}}{{AE}} = \frac{{AC}}{{AB}} \Leftrightarrow \frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AB}}{{AC}}\]
Suy ra hai tam giác AFE và ACB đồng dạng (c.g.c)
\[ \Rightarrow \frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{AF}}{{AC}}\]
Tam giác AFC vuông tại F có góc C bằng 30 độ nên AF=1/2AC
Suy ra EF/BC=AF/AC=1/2 hay EF=1/2BC
b,
Tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm K do có góc E và F bằng 90 độ
Do đó:
\[\widehat {FKE} = 2\widehat {FAE} = 120^\circ \]
(góc ở tâm bằng 2 lần góc ở trên đường tròn cùng chiếu một cung)
c, Chính là định lí Cê – va