Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Các đường cao AD,BE, CF cắt nhau tại H. Lấy điểm M nằm trên đoạn HB, lấy điểm N nằm trên đoạn HC sao cho góc AMC = góc

a, Xét `DeltaAEB` và `DeltaAFC` có:
`hat(AEB) = hat(AFC)`
`hat(BAC)` chung
`=>DeltaAEB∽DeltaAFC (g-g)`
`=> (AE)/(AF) = (AB)/(AC)`
`<=> AE*AC = AB*AF (1)`
Xét `DeltaAMC` và `DeltaAEM` có:
`hat(AMC)= hat(AEM)`
 `hat(MAC)` chung
`=> DeltaAMC∽AEM (g-g)`
`=>AM^2 = AE*AC (2)`
Chứng minh tương tự ta có `AN^2 = AF*AB (3)`
Từ `(1), (2), (3) =) AM^2 = AN^2`
`=> AM = AN =>DeltaAMN` cân tại `A`
b, Ta có:
`(AE)/(AF) = (AB)/(AC) (cmt)`
`=> AE*(AC)/(AF)= AB (1)`
Xét `DeltaADB` và `DeltaCFB` có:
`hat(ADB)=hat(CFB)`
`hat(ABC)` chung
`=>DeltaADB∽DeltaCFB (g-g)`
`=>(BD)/AF= (AB)/AC`
`<=> BD*(BC)/BF= AB (2)`
Lại có `AM` và `AN` là các cạnh của tam giác 
Từ `(1)` và `(2) =>BC*(BD)/(BF) = AC*(AE)/(AF)(đpcm)`