cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn(O).các đường cao BE,CF của tam giác ABC cắt nhau tại H . Chứng minh rằng 4 điểm B,F,E,C cùng thuộc

0 bình luận về “cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn(O).các đường cao BE,CF của tam giác ABC cắt nhau tại H . Chứng minh rằng 4 điểm B,F,E,C cùng thuộc”

1. Lời giải:

   a) Ta có:

   $BE\perp AC\quad (gt)$

   $\Rightarrow \widehat{BEC} = 90^\circ$

   $CF\perp AB\quad (gt)$

   $\Rightarrow \widehat{BFC} = 90^\circ$

   Xét tứ giác $BFEC$ có:

   $\widehat{BEC} = \widehat{BFC} = 90^\circ$

   $\widehat{BEC}$ và $\widehat{BFC}$ cùng nhìn cạnh $BC$

   Do đó $BFEC$ là tứ giác nội tiếp

   $\Rightarrow B,F,E,C$ cùng thuộc một đường tròn

   b) Ta có:

   $BFEC$ là tứ giác nội tiếp (câu a)

   $\Rightarrow \widehat{BEF} = \widehat{BCF}$

   Ta lại có:

   $\widehat{BCF} = \widehat{BAH}$ (cùng phụ $\widehat{ABC}$)

   Do đó:

   $\widehat{BEF} = \widehat{BAH}$

   Xét $\triangle BEF$ và $\triangle BAH$ có:

   $\begin{cases}\widehat{B}:\ \text{góc chung}\\\widehat{BEF} = \widehat{BAH}\quad (cmt)\end{cases}$

   Do đó: $\triangle BEF\backsim \triangle BAH\ (g.g)$

   $\Rightarrow \dfrac{EF}{AH} = \dfrac{BF}{HB}$

   $\Rightarrow AH.BF = EF.HB$

    

   Bình luận