cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn(O).các đường cao BE,CF của tam giác ABC cắt nhau tại H . Chứng minh rằng 4 điểm B,F,E,C cùng thuộc

Lời giải:

a) Ta có:

$BE\perp AC\quad (gt)$

$\Rightarrow \widehat{BEC} = 90^\circ$

$CF\perp AB\quad (gt)$

$\Rightarrow \widehat{BFC} = 90^\circ$

Xét tứ giác $BFEC$ có:

$\widehat{BEC} = \widehat{BFC} = 90^\circ$

$\widehat{BEC}$ và $\widehat{BFC}$ cùng nhìn cạnh $BC$

Do đó $BFEC$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow B,F,E,C$ cùng thuộc một đường tròn

b) Ta có:

$BFEC$ là tứ giác nội tiếp (câu a)

$\Rightarrow \widehat{BEF} = \widehat{BCF}$

Ta lại có:

$\widehat{BCF} = \widehat{BAH}$ (cùng phụ $\widehat{ABC}$)

Do đó:

$\widehat{BEF} = \widehat{BAH}$

Xét $\triangle BEF$ và $\triangle BAH$ có:

$\begin{cases}\widehat{B}:\ \text{góc chung}\\\widehat{BEF} = \widehat{BAH}\quad (cmt)\end{cases}$

Do đó: $\triangle BEF\backsim \triangle BAH\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{EF}{AH} = \dfrac{BF}{HB}$

$\Rightarrow AH.BF = EF.HB$