Cho tam giác ABC có A(3;1), B(1;-3), trọng tâm G thuộc Ox, biết diện tích tam giác ABC=3.Tìm C

Đáp án: $ C(2,2)$ hoặc $ C(5,2)$

Giải thích các bước giải:

Phương trình $AB: \dfrac{x-3}{1-3}=\dfrac{y-1}{-3-1}\to (AB): 2x-y-5=0$

Độ dài $AB=\sqrt{(3-1)^2+(1-(-3))^2}=2\sqrt{5}$

Vì $G\in Ox\to G(a,0)$

Ta có $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

$\to S_{GAB}=\dfrac13S_{ABC}=1$

$\to \dfrac12\cdot d(G,AB)\cdot AB=1$

$\to \dfrac12\cdot \dfrac{|2a-0-5|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}\cdot 2\sqrt{5}=1$

$\to |2a-5|=1$

$\to a\in\{2,3\}$

Trường hợp $1: a=2\to G(2,0)$

Vì $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

$\to\begin{cases}x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}\\y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\end{cases}$

$\to\begin{cases}2=\dfrac{3+1+x_C}{3}\\0=\dfrac{1-3+y_C}{3}\end{cases}$

$\to\begin{cases}x=2\\ y=2\end{cases}$

$\to C(2,2)$

Trường hợp $2: a=3\to G(3,0)$

Vì $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

$\to\begin{cases}x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}\\y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\end{cases}$

$\to\begin{cases}3=\dfrac{3+1+x_C}{3}\\0=\dfrac{1-3+y_C}{3}\end{cases}$

$\to\begin{cases}x=5\\ y=2\end{cases}$

$\to C(5,2)$