Cho tam giác ABC có A nhọn.
Vẽ đoạn AD vuông góc với AB và AD=AB (D và C khác phía đối với AB).
Vẽ đoạn AE vuông góc với AC và AE=AC (E và C khác phía đối với AC).
Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A lấy điểm M sao cho BM // AC và BM=AC.
Gọi I là giao điểm của AM và BC.
Chứng minh AI=DE/2
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Xét hai tam giác ABC và MCB có:
AC = BM (theo giả thiết)
∠ACB = ∠CBM (do AC//BM, 2 góc ở vị trí so le trong)
BC: cạnh chung
Suy ra ΔABC = ΔMCB (c.g.c)
Do đó, {AB=CMˆABC=ˆBCM{AB=CMABC^=BCM^
Hai góc ∠ABC và ∠BCM bằng nhau và ở vị trí so le trong nên AB//CM
Do AB// CM nên ˆBAC+ˆACM=180∘BAC^+ACM^=180∘ (2 góc đồng vị)
Mặt khác, ˆDAE+ˆBAC=360∘−ˆDAB−ˆEAC=180∘DAE^+BAC^=360∘−DAB^−EAC^=180∘
Do đó, ˆDAE=ˆACM=180∘−ˆBACDAE^=ACM^=180∘−BAC^
Xét hai tam giác DAE và MCA có:
DA = AB = CM
∠DAE = ∠MCA
AE = AC
Suy ra ΔDAE = ΔMCA (c.g.c)
Hay DE = AM (2 cạnh tương ứng)
Lại có ΔAIC = ΔMIB (g.c.g) nên AI = MI
Vậy DE = AM = 2 AI
Giải thích các bước giải:
Xét hai tam giác ABC và MCB có:
AC = BM (theo giả thiết)
∠ACB = ∠CBM (do AC//BM, 2 góc ở vị trí so le trong)
BC: cạnh chung
Suy ra ΔABC = ΔMCB (c.g.c)
Do đó, \(\left\{ \begin{array}{l}
AB = CM\\
\widehat {ABC} = \widehat {BCM}
\end{array} \right.\)
Hai góc ∠ABC và ∠BCM bằng nhau và ở vị trí so le trong nên AB//CM
Do AB// CM nên \(\widehat {BAC} + \widehat {ACM} = 180^\circ \) (2 góc đồng vị)
Mặt khác, \(\widehat {DAE} + \widehat {BAC} = 360^\circ – \widehat {DAB} – \widehat {EAC} = 180^\circ \)
Do đó, \(\widehat {DAE} = \widehat {ACM} = 180^\circ – \widehat {BAC}\)
Xét hai tam giác DAE và MCA có:
DA = AB = CM
∠DAE = ∠MCA
AE = AC
Suy ra ΔDAE = ΔMCA (c.g.c)
Hay DE = AM (2 cạnh tương ứng)
Lại có ΔAIC = ΔMIB (g.c.g) nên AI = MI
Vậy DE = AM = 2 AI