Cho tam giác ABC có AB = 5cm. AC = 9cm. M là trung điểm BC. Qua M kẻ đường vuông góc với đường phân giác trong của góc A, cắt đường thẳng AB, AC lần l

Đáp án:

$AD = 7\, cm$

$BD = 2 \, cm$

Giải thích các bước giải:

Từ $B$ kẻ $BN//AC \, (N\in DE)$

$\Rightarrow \widehat{BND} = \widehat{AED}$ (đồng vị)

Xét $∆BNM$ và $∆CEM$ có:

$BM= CM\, (gt)$

$\widehat{MBN} = \widehat{MCE}$ (so le trong)

$\widehat{BMN} = \widehat{CME}$ (đối đỉnh)

Do đó $∆BNM=∆CEM\, (g.c.g)$

$\Rightarrow BN = CE$ $(1)$

Gọi $I$ là giao điểm giữa đường phân giác góc $A$ và $DE$

Xét $∆ADE$ có:

$AI$ là phân giác $\widehat{A}$

$AI$ là đường cao ứng với cạnh $DE$ $(AI\perp DE: \, gt)$

Do đó $∆ADE$ cân tại $A$

$\Rightarrow AE= AD; \widehat{ADE} = \widehat{AED}$

mà $\widehat{AED} = \widehat{BND}$

nên $\widehat{ADE} = \widehat{BND}$

hay $\widehat{BDN} = \widehat{BND}$

$\Rightarrow ∆BND$ cân tại $B$

$\Rightarrow BN = BD$ $(2)$

$(1)(2) \Rightarrow BD = EC$

$\Rightarrow AD = AB + BD$

Ta lại có: $AE = AC – EC$

$\Rightarrow AD + AE = AB + AC + BD – EC$

$\Rightarrow 2AD = AB + AC$

$\Rightarrow AD = \dfrac{AB+AC}{2} = \dfrac{5 + 9}{2} = 7 \, cm$

Ta được: $BD = AD – AB = 7 – 5 = 2 \, cm$