Cho tam giác ABC có AB=9cm, AC=12cm, BC=15cm
a. CM tam giác ABC vuông
b. Vẽ AH vuông với BC. Tính AH, BH, CH (lấy số đo chính xác), tính góc B,C (làm tròn đến độ)
c. Vẽ HE vuông với AB tại E, AF vuông với AC tại F
CM: 1/EF^2= 1/AC^2+1/AB^2
d. CM: AB.cosB+AC.cosC=BC
e. AE.AB=AF.FC Tính diện tích BEFC
a) Ta xét
$AB^2 + AC^2 = 9^2 +12^2 = 225 = 15^2 = BC^2$
Vậy theo Định lý đảo của Pytago, ta có tam giác ABC vuông tại A.
b) Áp dụng hệ thức lượng ta có
$AH.BC = AB.AC$
Vậy $AH = \dfrac{36}{5}$ (cm)
Áp dụng hệ thức lượng tiếp ta có
$AB^2 = BH.BC$
Vậy $BH = \dfrac{27}{5}$ (cm)
Do đó $CH = BC – BH = \dfrac{48}{5}$
c) Xét tứ giác AEHF có
$\widehat{HEA} = \widehat{EAF} = \widehat{AFH} = 90^{\circ}$
Vậy tứ giác AEHF là hình chữ nhật, suy ra AH = EF.
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ABC ta có
$\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{AB^2} + \dfrac{1}{AC^2}$
Do AH = FE nên ta có
$\dfrac{1}{EF^2} = \dfrac{1}{AB^2} + \dfrac{1}{AC^2}$
d) Áp dụng Pytago cho tam giác BAC ta có
$AB^2 + AC^2 = BC^2$
$<-> AB . \dfrac{AB}{BC} + AC. \dfrac{AC}{BC} = BC$
Lại có $\dfrac{AB}{BC} = \cos(\widehat{B})$ và $\dfrac{AC}{BC} = \cos(\widehat{C})$ nên
$AB . \cos (\widehat{B}) + AC . \cos(\widehat{C}) = BC$.
e) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác AHB vuông tại H và HE là đường cao nên
$AH^2 = AE.AB$.
CMTT cho tam giác vuông AHC ta có
$AH^2 = AF.AC$.
Vậy $AE.AB = AF.AC$ ($= AH^2$).
Từ đẳng thức
$AH^2 = AE.AB$
Vậy $AE = \dfrac{144}{25}$ (cm)
CMTT ta tính đc $AF = \dfrac{108}{25}$
Xét tam giác vuông AEF có
$S_{AEF} = \dfrac{1}{2} . AE.AF = \dfrac{7776}{625}$ ($cm^2$)
Khi đó
$S_{BEFC} = S_{ABC} – S_{AEF}$
$= \dfrac{1}{2} . AB . AC – S_{AEF}$
$= \dfrac{25974}{625}$ ($cm^2$)