Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến I là trung điểm của AM
CMR:2IA+IB+IC=VECTO 0
cới điểm O tùy ý CMR:2OA+OB+OC=4OI
Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến I là trung điểm của AM
CMR:2IA+IB+IC=VECTO 0
cới điểm O tùy ý CMR:2OA+OB+OC=4OI
`a)` Ta có:
`2vec{IA} + vec{IB} + vec{IC}`
`= 2vec{IA} + 2vec{IM}`
`= 2(vec{IA} + vec{IM})`
`= 2.vec{0}`
`= vec{0}`
`b)` Ta có:
`2vec{OA} + vec{OB} + vec{OC}`
`= 2vec{OI} + 2vec{IA} + vec{OI} + vec{IB} + vec{OI} + vec{IC}`
`= 4vec{OI} + (2vec{IA} + vec{IB} + vec{IC})`
`= 4vec{OI} + vec{0}`
`= 4vec{OI}`
Gọi $N$ là điểm đối xứng $I$ qua $M$
$\Rightarrow \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{MI} = \overrightarrow{IA}$
$\Rightarrow 2\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{NI}$
Xét tứ giác $BICN$ có:
$MI = MN$ (cách dựng)
$BM = MC \, (gt)$
$NI\cap BC = \left\{M\right\}$
Do đó $BICN$ là hình bình hành
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:
$\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{IN}$
Ta được:
$2\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC}$
$= \overrightarrow{NI} + \overrightarrow{IN}$
$= \overrightarrow{0}$
Với điểm $O$ tùy ý, ta có:
$2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$
$= 2\overrightarrow{OI} + 2\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{OI} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{OI} + \overrightarrow{IC}$
$= 4\overrightarrow{OI} + (2\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC})$
$= 4\overrightarrow{OI}$