Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến I là trung điểm của AM CMR:2IA+IB+IC=VECTO 0 cới điểm O tùy ý CMR:2OA+OB+OC=4OI

Gọi $N$ là điểm đối xứng $I$ qua $M$

$\Rightarrow \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{MI} = \overrightarrow{IA}$

$\Rightarrow 2\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{NI}$

Xét tứ giác $BICN$ có:

$MI = MN$ (cách dựng)

$BM = MC \, (gt)$

$NI\cap BC = \left\{M\right\}$

Do đó $BICN$ là hình bình hành

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:

$\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{IN}$

Ta được:

$2\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC}$

$= \overrightarrow{NI} + \overrightarrow{IN}$

$= \overrightarrow{0}$

Với điểm $O$ tùy ý, ta có:

$2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$

$= 2\overrightarrow{OI} + 2\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{OI} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{OI} + \overrightarrow{IC}$

$= 4\overrightarrow{OI} + (2\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC})$

$= 4\overrightarrow{OI}$