Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến. Kẻ ME vuông góc với AB tại E, vẽ tia Cx//AB cắt EM tại I, trên CI lấy D sao cho I là trung điểm của CD.
a) Chứng minh M là trung điểm của EI
b) DM cắt AB tại P. Chứng minh tam giác BMP cân tại M
c) Chứng minh BD vuông góc với CD
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Hình bạn tự vẽ nha
a. Ta có : Cx//AB
Mà IE ⊥ AB
⇔ IE ⊥ CD
Xét ΔBME và ΔCMI có :
góc BMI = góc CIM <vì =90 độ>
BM = CM
góc BME = góc CMI
⇔ ΔBME = ΔCMI < ch-gn>
⇔ ME = MI
⇔ M là trung điểm của EI
b. Ta có EI ⊥ DC
I là trung điểm của DC
⇔ EI là đường trung trực của DC
Mà M ∈ EI ⇒ MD = MC
⇔ Δ MCD cân tại M
⇔ góc MDC = góc MCD <1>
Mà góc EBM = góc ICM <2>
Từ <1> và <2> ⇔ góc EBM = góc MDC
Mà góc MDC = góc EPM
⇔ góc EBM = góc EPM
⇔ Δ BMP cân tại M
c. Xét tứ giác BEID có :
BE =DI
BE//DI
⇔ tứ giác BEID là hình bình hành
⇔ EI//BD
Mà DC ⊥ EI ⇔ BD ⊥ CD
a,
Áp dụng định lí Ta-let, ta có: `\frac{ME}{MI}=\frac{BM}{CM}=1`
`=>ME=MI`
`=>M` là trung điểm của `EI`.
b,
+ Áp dụng định lí Ta-let, ta có:
`\frac{BM}{CM}=\frac{BE}{CI}=1=>BE=CI`
`\frac{EM}{IM}=\frac{EP}{DI}=1=>EP=DI`
Mà `CI=DI=>BE=EP`
`=>E` là trung điểm của `BP`.
+ Xét `ΔBMP` có `ME` vừa là đường cao vừa là trung tuyến.
`=>ΔBMP` cân tại `M`.
c,
Xét `ΔBDP` có:
+ `M` là trung điểm của `DP`
+ `E` là trung điểm của `BP`
`=>ME` là đường tb của `ΔBDP`.
`=>ME//BD` (t/c đường trung bình)
Mà `ME⊥CD`
`=>BD⊥CD` (đpcm)