Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Chứng minh tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn. Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDHE.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Chứng minh tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn. Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDHE.
Lời giải:
Ta có:
$\begin{cases}AD\perp BC\\BE\perp AC\end{cases}\quad (gt)$
$\Rightarrow\widehat{D}=\widehat{E}= 90^\circ$
Xét tứ giác $CDHE$ có:
$\widehat{D}+\widehat{E}= 180^\circ$
Do đó $CDHE$ là tứ giác nội tiếp
Gọi $I$ là trung điểm $CH$
Xét $∆CHD$ vuông tại $D$ có:
$I$ là trung điểm cạnh huyền $CH$
$\Rightarrow IC = ID = IH =\dfrac12CH$
Xét $∆CEH$ vuông tại $E$ có:
$I$ là trung điểm cạnh huyền $CH$
$\Rightarrow IC = IE = IH =\dfrac12CH$
$\Rightarrow IC = ID = IE = IH$
$\Rightarrow I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $CDHE$
Vậy tâm của đường tròn ngoại tiếp $CDHE$ là trung điểm $CH$