Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O).Tia phân giác của góc BAC cắt đường tròn (O) tại E. a)chứng minh cung EB=cung EC,suy ra EB=EC

a) Ta có:

$AE$ là phân giác của $\widehat{BAC}\quad (gt)$

$\to \widehat{BAE} = \widehat{CAE}$

$\to sđ\mathop{BE}\limits^{\displaystyle\frown} = sđ\mathop{CE}\limits^{\displaystyle\frown}$

$\to \mathop{BE}\limits^{\displaystyle\frown} = \mathop{CE}\limits^{\displaystyle\frown}\quad (\mathop{BE}\limits^{\displaystyle\frown};\, \mathop{CE}\limits^{\displaystyle\frown} \in (O))$

$\to EB = EC$

b) Ta có:

$I$ là tâm đường tròn nội tiếp $ΔABC\quad (gt)$

$\to BI$ là phân giác của $\widehat{ABC}$

$\to \widehat{ABI} = \widehat{CBI}$

Mặt khác:

$\widehat{EIB} = \widehat{IAB} + \widehat{ABI}$ (góc ngoài của $ΔABI$)

$\widehat{EBI} = \widehat{EBC} + \widehat{CBI}$

$\widehat{IAB} = \widehat{IAC} = \dfrac12\widehat{BAC}$

$\widehat{EBC} = \widehat{EAC} = \widehat{IAC}$ (cùng chắn $\mathop{CE}\limits^{\displaystyle\frown}$)

Do đó:

$\widehat{EIB} = \widehat{EBI}$

$\to ΔEIB$ cân tại $E$

$\to EB = EI$

mà $EB = EC$ (câu a)

nên $EB = EC = EI$