Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O).Tia phân giác của góc BAC cắt đường tròn (O) tại E.
a)chứng minh cung EB=cung EC,suy ra EB=EC
b)Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC,chứng minh góc EIB=góc EBI suy ra EB=EC=EI
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O).Tia phân giác của góc BAC cắt đường tròn (O) tại E.
a)chứng minh cung EB=cung EC,suy ra EB=EC
b)Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC,chứng minh góc EIB=góc EBI suy ra EB=EC=EI
a) Ta có:
$AE$ là phân giác của $\widehat{BAC}\quad (gt)$
$\to \widehat{BAE} = \widehat{CAE}$
$\to sđ\mathop{BE}\limits^{\displaystyle\frown} = sđ\mathop{CE}\limits^{\displaystyle\frown}$
$\to \mathop{BE}\limits^{\displaystyle\frown} = \mathop{CE}\limits^{\displaystyle\frown}\quad (\mathop{BE}\limits^{\displaystyle\frown};\, \mathop{CE}\limits^{\displaystyle\frown} \in (O))$
$\to EB = EC$
b) Ta có:
$I$ là tâm đường tròn nội tiếp $ΔABC\quad (gt)$
$\to BI$ là phân giác của $\widehat{ABC}$
$\to \widehat{ABI} = \widehat{CBI}$
Mặt khác:
$\widehat{EIB} = \widehat{IAB} + \widehat{ABI}$ (góc ngoài của $ΔABI$)
$\widehat{EBI} = \widehat{EBC} + \widehat{CBI}$
$\widehat{IAB} = \widehat{IAC} = \dfrac12\widehat{BAC}$
$\widehat{EBC} = \widehat{EAC} = \widehat{IAC}$ (cùng chắn $\mathop{CE}\limits^{\displaystyle\frown}$)
Do đó:
$\widehat{EIB} = \widehat{EBI}$
$\to ΔEIB$ cân tại $E$
$\to EB = EI$
mà $EB = EC$ (câu a)
nên $EB = EC = EI$