Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường trong tâm O và AB < AC. Vẽ đường kính AD của đường tròn (O). Kẻ BE và CF vuông góc với AD ( E, F thuộc AD). Kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC) a) chứng minh bốn điểm A, B, H, E cùng nằm trên một đường tròn b) chứng minh HE song song với CD c) gọi M la trung điểm của BC. Chứng minh ME = MF
Giải thích các bước giải:
a) Xét tứ giác AEHB có:
góc AEB = góc AHB = 90 độ
Mà 2 góc này ở vị trí cùng nhìn cạnh AB
`=>`Tứ giác AEHB nội tiếp
`=>`$A,B,H,E$ cùng nằm trên 1 đường tròn.
b) Ta có:
Tứ giác AEHB nội tiếp
`=>`góc DEH = góc HBA (tính chất)
`->`góc DEH = góc CBA
Đường tròn (O) có: góc CDA = góc CBA
`=>`góc CDA = góc DEH = góc CBA
mà 2 góc này ở vị trí so le trong
`->`$HE//CD$
c) Gọi K là trung điểm EC, I là giao điểm của MK và ED
Khi đó: MK là đường trung bình của tam giác BCE
=> MK//BE mà BE vuông góc AD (gt)
=> MK vuông góc AD
Hay: MK vuông góc với EF (1)
Lại có: CF vuông góc AD (gt)
=> MK//CF
Hay: KI//CF
Tam giác ECF có: KI//CF, KE=KC nên IE=IF (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MK là đường trung trực EF
Hay: ME = MF