Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và ba đường cao AA’ , BB’ ,CC’ cắt nhau tại H .Vẽ hình bình hành BHCD . Đường thẳng qua D và song song với BC cắt đường thẳng AH tại M .
1) Chứng minh rằng năm điểm A, B ,C , D , M cùng thuộc một đường tròn.
2) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .Chứng minh rằng BM = CD
và góc BAM = góc OAC .
3) Gọi K là trung điểm của BC , đường thẳng AK cắt OH tại G . Chứng minh rằng G là trọng tâm
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và ba đường cao AA’ , BB’ ,CC’ cắt nhau tại H .Vẽ hình bình hành BHCD . Đường thẳng qua D và song song với BC cắt đư
By Hadley
Ta có BHCD là hình bình hành (gt)
HA’ là khoảng cách từ H đến BC
MA’ là khoảng cách từ D đến BC
Suy ra HA’ = MA’
Suy ra BA’ là trung tuyến ứng với cạnh HM
Mat BA’ cũng là đường cao ứng với cạnh HM
Suy ra ∆BHM cân tại B
Suy ra BH = BM
Mà BH = CD (BHCD là hình bình hành)
Nên BM = CD
Suy ra cung BM = cung CD
Suy ra góc BAM = cung CD/2 (1)
Ta có góc DCB = góc HBC (so le trong)
Mà góc ACB + góc HBC = 90°
Nên góc ACB + góc DCB = 90° = góc ACD
Ta lại có A, C, D cùng thuộc (O)
Nên AD là đường kính của (O)
Suy ra góc OAC = cung CD/2 (2)
(1)(2) suy ra góc BAM = góc OAC
K là trung điểm của BC (gt)
Suy ra OK vuông BC (OK là trung trực của BC)
Suy ra AH // OK (cùng vuông BC)
Suy ∆AGH ~ ∆KGO
AG/GK = AH/OK
Do AO = OD = R
AH // OK
Nên OK là đường trung bình của ∆AHD
Suy ra AH = 2OK
Suy ra AG/GK = AH/OK = 2
Hay AG = 2GK
Suy ra AG/AK = 2/3
Vậy G là trọng tâm của ∆ABC