Cho tam giác ABC có độ dài các đường cao tương ứng kẻ A,B,C là x,y,z. Cộng lần lượt độ dài từng hai đường cao theo thứ tự trên ta được các tổng này tỉ lệ với 3:4:5
a. Độ dài ba đường cao x,y,z tỷ lệ với nhau như thế nào?
b. Tìm tỉ lệ độ dài 3 cạnh của tam giác ABC.
a,
Cộng lần lượt độ dài từng hai đường cao theo thứ tự trên ta được các tổng này tỉ lệ với 3:4:5
$⇔(x+y):(y+z):(z+x)=3:4:5$
$⇔\dfrac{x+y}{3}=\dfrac{y+z}{4}=\dfrac{z+x}{5}$
$⇔\dfrac{x+y}{3}=\dfrac{y+z}{4}=\dfrac{z+x}{5}=\dfrac{x+y-(y+z)-(z+x)}{3-4-5}=\dfrac{(y+z)-(x+y)-(z+x)}{4-3-5}=\dfrac{(z+x)-(x+y)-(y+z)}{5-3-4}$(Tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
Hay $\dfrac{x+y}{3}=\dfrac{y+z}{4}=\dfrac{z+x}{5}=\dfrac{-2z}{-6}=\dfrac{-2x}{-4}=\dfrac{-2y}{-2}$
⇒$\dfrac{x+y}{3}=\dfrac{y+z}{4}=\dfrac{z+x}{5}=\dfrac{z}{3}=\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{1}$
b,Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác ABC lần lượt là $a,b,c$ tương ứng với 3 đường cao $x,y,z$
Ta có: $\dfrac{z}{3}=\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{1}$
$⇒\dfrac{\dfrac{1}{2}cz}{2.c.3}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.a.x}{2.a.2}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.b.y}{2.b.1}$
Mà $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}cz=\dfrac{1}{2}.a.x=\dfrac{1}{2}.b.y$
$⇒\dfrac{S_{ABC}}{2.c.3}=\dfrac{S_{ABC}}{2.a.2}=\dfrac{S_{ABC}}{2.b.1}$
$⇔S_{ABC}.\dfrac{1}{2.c.3}=S_{ABC}.\dfrac{1}{2.a.2}=S_{ABC}.\dfrac{1}{2.b.1}$
$⇔\dfrac{1}{2.c.3}=\dfrac{1}{2.a.2}=\dfrac{1}{2.b.1}$
Hay $\dfrac{1}{6c}=\dfrac{1}{4a}=\dfrac{1}{2b}$
$⇒6c=4a=2b$