cho tam giác ABC có trung tuyến AM=Ma=C= AB. CMR a) a^2=2(b^2-c^2) b) sin^2A = 2( sin^2B -sin^2C 17/07/2021 Bởi Audrey cho tam giác ABC có trung tuyến AM=Ma=C= AB. CMR a) a^2=2(b^2-c^2) b) sin^2A = 2( sin^2B -sin^2C
Giải thích các bước giải: a, Áp dụng công thức đường trung tuyến ta có: \(\begin{array}{l}{m_a}^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} – \frac{{{a^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow {c^2} = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} – \frac{{{a^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow 4{c^2} = 2{b^2} + 2{c^2} – {a^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} = 2\left( {{b^2} – {c^2}} \right)\end{array}\) b, Áp dụng công thức \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\) ta có: \(\begin{array}{l}2\left( {{{\sin }^2}B – {{\sin }^2}C} \right)\\ = 2.\left[ {{{\left( {\frac{b}{{2R}}} \right)}^2} – {{\left( {\frac{c}{{2R}}} \right)}^2}} \right]\\ = \frac{{2\left( {{b^2} – {c^2}} \right)}}{{{{\left( {2R} \right)}^2}}} = \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {2R} \right)}^2}}} = {\left( {\frac{a}{{2R}}} \right)^2} = {\sin ^2}A\end{array}\) Bình luận
Giải thích các bước giải:
a,
Áp dụng công thức đường trung tuyến ta có:
\(\begin{array}{l}
{m_a}^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} – \frac{{{a^2}}}{4}\\
\Leftrightarrow {c^2} = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} – \frac{{{a^2}}}{4}\\
\Leftrightarrow 4{c^2} = 2{b^2} + 2{c^2} – {a^2}\\
\Leftrightarrow {a^2} = 2\left( {{b^2} – {c^2}} \right)
\end{array}\)
b,
Áp dụng công thức \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\) ta có:
\(\begin{array}{l}
2\left( {{{\sin }^2}B – {{\sin }^2}C} \right)\\
= 2.\left[ {{{\left( {\frac{b}{{2R}}} \right)}^2} – {{\left( {\frac{c}{{2R}}} \right)}^2}} \right]\\
= \frac{{2\left( {{b^2} – {c^2}} \right)}}{{{{\left( {2R} \right)}^2}}} = \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {2R} \right)}^2}}} = {\left( {\frac{a}{{2R}}} \right)^2} = {\sin ^2}A
\end{array}\)