cho tam giác ABC đều cạnh a.Gọi G là trọng tâm, I là trung điểm của AG.Tính độ dài của các vecto AG,BI

0 bình luận về “cho tam giác ABC đều cạnh a.Gọi G là trọng tâm, I là trung điểm của AG.Tính độ dài của các vecto AG,BI”

1. Đáp án:

   $|\overrightarrow{AG}| = \dfrac{a\sqrt3}{3}$

   $|\overrightarrow{BI}| = \dfrac{a\sqrt{21}}{6}$

   Giải thích các bước giải:

   Gọi $M$ là trung điểm $BC$ 

   $\Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AM$

   Ta có: $ΔABC$ đều

   $\Rightarrow AM = \dfrac{AB\sqrt3}{2} = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

   $\Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{a\sqrt3}{2} = \dfrac{a\sqrt3}{3}$

   Ta được: $|\overrightarrow{AG}| = AG = \dfrac{a\sqrt3}{3}$

   Ta cũng có:

   $AM$ là trung tuyến ứng với cạnh $BC$ của tam giác đều $ABC$

   $\Rightarrow AM$ cũng là phân giác của $\widehat{BAC}$

   $\Rightarrow \widehat{BAM} = \dfrac{1}{2}\widehat{BAC} = \dfrac{1}{2}.60^o = 30^o$

   hay $\widehat{BAI} = 30^o$

   Áp dụng định lý $\cos$ vào $ΔBAI$ ta được:

   $BI^2 = AB^2 + AI^2 – 2.AB.AI.\cos\widehat{BAI}$

   $\Leftrightarrow BI^2 = AB^2 + \left(\dfrac{1}{2}AG\right)^2 – 2.AB.\dfrac{1}{2}AG.\cos30^o$

   $\Leftrightarrow BI^2 = a^2 + \left(\dfrac{a\sqrt3}{6}\right)^2 – 2.a.\dfrac{a\sqrt3}{6}.\dfrac{\sqrt3}{2}$

   $\Leftrightarrow BI^2 = \dfrac{7a^2}{12}$

   $\Rightarrow BI = \dfrac{a\sqrt{21}}{6}$

   Ta được: $|\overrightarrow{BI}| = BI = \dfrac{a\sqrt{21}}{6}$

   Bình luận