Cho tam giác ABC đều , M là điểm nằm trong tam giác. Gọi A’ ; B’ ; C’ lần lượt là hình chiếu vuông góc với M lên các cạnh BC, CA, AB. CMR:
a) MA’ + MB’ +MC’ không đổi
b) AC’ + BA’ + CB’ không đổi
( Chú ý: tam giác ABC không thay đổi ). Ta có thể biểu diễn MA’ + MB’ +MC’ theo cạnh của tam giác . M có thay đổi nằm trong tam giác.
a,
Ta có: Kẻ $AH;BK;CF$ vuông góc với $BC;CA;AB$
Xét $ΔMBC$ và $ΔABC$ có chung đáy $BC$
$⇒\dfrac{S_{MBC}}{S_{ABC}}=\dfrac{MA’}{AH}$
Chứng minh tương tự ta có:
$\dfrac{S_{MAC}}{S_{ABC}}=\dfrac{MB’}{BK}$
$\dfrac{S_{MAB}}{S_{ABC}}=\dfrac{MC’}{CF}$
$⇒\dfrac{S_{MBC}}{S_{ABC}}+\dfrac{S_{MAC}}{S_{ABC}}+\dfrac{S_{MAB}}{S_{ABC}}=\dfrac{MA’}{AH}+\dfrac{MB’}{BK}+\dfrac{MC’}{CF}$
Hay $\dfrac{MA’}{AH}+\dfrac{MB’}{BK}+\dfrac{MC’}{CF}=1$
$⇒\dfrac{MA’+MB’+MC’}{AH}=1$ (do $ΔABC$ đều nên $AH=BK=CF$)
$⇒MA’+MB’+MC’=AH$ ko đổi
b, Xét $ΔABA’$ và $ΔABC$ chung đường cao $AH$
$⇒\dfrac{S_{ABA’}}{S_{ABC}}=\dfrac{A’B}{BC}$
Chứng minh tương tự ta có:
$\dfrac{S_{BB’C}}{S_{ABC}}=\dfrac{B’C}{AC}$
$\dfrac{S_{CC’A}}{S_{ABC}}=\dfrac{C’A}{AB}$
Gọi giao 3 đường $AA’;BB’;CC’$ là $I$
$⇒S_{ABA’}+S_{BB’C}+S_{CC’A}=S_{C’AI}+S_{C’BI}+S_{IBA’}+S_{IBA’}+S_{IA’C}+S_{IB’C}+S_{IB’C}+S_{AIB’}+S_{AIC’}=2.(S_{C’AI}+S_{IBA’}+S_{IB’C})+S_{IC’B}+S_{IA’C}+S_{IAB’}=(S_{C’AI}+S_{IC’B})+(S_{IBA’}+S_{IA’C})+(S_{IB’C}+S_{IAB’})=S_{AIB}+S_{IBC}+S_{IAC}=S_{ABC}$
$⇒ \dfrac{S_{ABA’}}{S_{ABC}}+\dfrac{S_{BB’C}}{S_{ABC}}+\dfrac{S_{CC’A}}{S_{ABC}}=\dfrac{S_{ABA’}+S_{BB’C}+S_{CC’A}}{S_{ABC}}=1$
Hay $\dfrac{A’B}{BC}+\dfrac{B’C}{AC}+\dfrac{C’A}{AB}=1$
Hay $\dfrac{A’B+B’C+C’A}{BC}=1$
Do $AB=BC=CA$
$⇒A’B+B’C+C’A=BC$ không đổi
Tự vẽ hình nhé bạn