Cho tam giác ABC đều. Trên cạnh AB,BC,CA lấy lần lượt các điểm D,E,F sao cho AD=BE=CF. Chứng minh tam giác DÈ là tam giác đều?
Cho tam giác ABC đều. Trên cạnh AB,BC,CA lấy lần lượt các điểm D,E,F sao cho AD=BE=CF. Chứng minh tam giác DÈ là tam giác đều?
Đáp án:
`ΔABC` đều`⇒ \hat{A} = \hat{B} = \hat{C}; AB = BC = AC`
Mà `AD = BE = CF` (gt)
`⇒ AB – AD = BC – BE = AC – CF`
`⇒ BD = CE = AF`
Xét `ΔADF` và `ΔBED` có:
$\left\{\begin{matrix}AD = BE (GT)& \\\hat{A} = \hat{B} (cmt)&\\ AF = BD (cmt)& \end{matrix}\right.$
`⇒ ΔADF = ΔBED (c-g-c)`
`⇒ DF = DE (2` cạnh tương ứng `) (1)`
Xét `ΔADF` và `ΔCFE` có:
$\left\{\begin{matrix}AD = CF (GT)& \\\hat{A} =\hat{C} (CMT)&\\ AF = CE (cmt)& \end{matrix}\right.$
`⇒ ΔADF = ΔCFE (c-g-c)`
`⇒ DF = EF (2` cạnh tương ứng `) (2)`
Từ `(1)` và `(2) ⇒ DE = DF = EF`
`⇒ ΔDEF` đều
ΔABCΔABC đều (gt) nên AB=BC=ACAB=BC=AC ; ˆA=ˆB=ˆC=60oA^=B^=C^=60o
Mà AD=BE=CF(gt)AD=BE=CF(gt)
⇒AB−AD=BC−BE=AC−CF⇔BD=CE=AF⇒AB−AD=BC−BE=AC−CF⇔BD=CE=AF
Xét ΔADFΔADF và ΔBEDΔBED có:
AD=BE(gt)AD=BE(gt)
ˆDAF=ˆEBD=60o(cmt)DAF^=EBD^=60o(cmt)
AF=BD(cmt)AF=BD(cmt)
Nên ΔADFΔADF = ΔBEDΔBED (c.g.c)(c.g.c)
⇒DF=ED⇒DF=ED ( hai cạnh tương ứng ) (1)(1)
Xét ΔADFΔADF và ΔCFEΔCFE có:
AD=CF(gt)AD=CF(gt)
ˆDAF=ˆFCE=60o(cmt)DAF^=FCE^=60o(cmt)
AF=CE(cmt)AF=CE(cmt)
Nên ΔADF=ΔCFE(c.g.c)ΔADF=ΔCFE(c.g.c)
⇒DF=EF⇒DF=EF ( hai cạnh tương ứng ) (2)(2)
Từ (1) và (2) ta có: DF=FE=EDDF=FE=ED
Vậy: ΔDEFΔDEF là tam giác đều.