Cho tam giác ABC điểm M nằm ở miền trong tam giác Gọi MA,MB,MC thứ tự giao với BC,AC,AC tại D,E,F CMR $\frac{MA}{MD}$ *$\frac{MB}{ME}$ *$\frac{MC}{MF}

0 bình luận về “Cho tam giác ABC điểm M nằm ở miền trong tam giác Gọi MA,MB,MC thứ tự giao với BC,AC,AC tại D,E,F CMR $\frac{MA}{MD}$ *$\frac{MB}{ME}$ *$\frac{MC}{MF}”

1. Giải thích các bước giải:

   Gọi $S_{MBC}=a,S_{MAC}=b,S_{MAB}=c$

   $\dfrac{MA}{MD}=\dfrac{S_{MAB}}{S_{MDB}}=\dfrac{S_{MAC}}{S_{MDC}}=\dfrac{S_{MAB}+S_{MAC}}{S_{MDB}+S_{MDC}}=\dfrac{S_{MAB}+S_{MAC}}{S_{MBC}}=\dfrac{c+b}{a}$

   Tương tự ta có:

   $\dfrac{MB}{ME}=\dfrac{a+c}{b}$

   $\dfrac{MC}{MF}=\dfrac{a+b}{c}$

   $\rightarrow P= \dfrac{MA}{MD}.\dfrac{MB}{ME}.\dfrac{MC}{MF}=\dfrac{b+c}{a}.\dfrac{a+c}{b}.\dfrac{a+b}{c}$

   $\rightarrow P=\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}\ge\dfrac{2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}}{abc}=8$

   Dấu = xảy ra khi $S_{MAB}=S_{MAC}=S_{MBC}$

   $\rightarrow $M là trọng tâm tam giác ABC

   $\rightarrow \dfrac{MA}{MD}.\dfrac{MB}{ME}.\dfrac{MC}{MF}\ge 8\rightarrow dpcm $

   Bình luận