Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là đường trung điểm của AC, E là điểm đối xứng vs H qua I
A) tính độ dài cạnh AC biết AI=5cm
B) chứng minh tứ giác AHCE là HCN
C) gọi MN lần lượt là trung điểm của HC, CE. Các đường thẳng AM, AN cắt HE tại G và K.
Chứng minh HG=GK=KE
Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là đường trung điểm của AC, E là điểm đối xứng vs H qua I A) tính độ dài cạnh AC biết AI=5cm B) chứng minh tứ gi
By Ayla
a) Do $I$ là trung điểm $AC$ nên $AC = 2 AI = 10$ (cm)
b) Do E đx với H qua I nên I là trung điểm HE, vậy $HI= IE$
Xét tam giác AIE và HIC có
$AI = IC$, $\widehat{AIE} = \widehat{HIC}$ (đối đỉnh), $IE = HI$.
Vậy tam giác AIE = tam giác CIH. Do đó AE = HC và $\widehat{IAE} = \widehat{ICH}$. Mà 2 góc ở vị trí so le trong nên AE//HC.
Xét tứ giác AECH có AE//HC và AE = HC. Vậy tứ giác này là hình bình hành.
Lại có $\widehat{AHC} = 90^{\circ}$. Vậy tứ giác AECH là hình chữ nhật.
d) Xét tam giác AEC có AN và EI là 2 đường trung tuyến giao nhau tại K. Do đó, K là trọng tâm tam giác AEC và $EK = \dfrac{2}{3} EI = \dfrac{2}{3} . \dfrac{1}{2} HE = \dfrac{1}{3} HE$.
CMTT ta cũng có $HG = \dfrac{1}{3} HE$.
Ta có
$HE = HG + GK + KE$
$<-> HE = \dfrac{1}{3} HE + GK + \dfrac{1}{3} HE$
$<-> GK = \dfrac{1}{3} HE$
Vậy ta có $HG = GK = KE$ ($ = \dfrac{1}{3} HE$).