Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB,
AC và AM. Chứng minh rằng:
a) Ba điểm D, E, F thẳng hàng
b) F là trung điểm của DE
Vẽ hình hộ mk nhá !
Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB,
AC và AM. Chứng minh rằng:
a) Ba điểm D, E, F thẳng hàng
b) F là trung điểm của DE
Vẽ hình hộ mk nhá !
a)
Xét tam giác ACB đỉnh C ta có :
+ E là trung điểm AC
+ M là trung điểm BC
=> EM là đường trung bình của tam giác
=> EM=1/2 AB = AD=BD (1)( D là trung điểm của AB)
Xét tam giác ABC đỉnh C ta có :
+ M là trung điểm của BC
+ D là trung điểm AB
=> MD là trung bình của tam giác ABC
=> MD = 1/2 AC = AE = EC (2) ( E là trung điểm AC)
Xét tứ giác AEMD có :
AD = EM (từ 1)
DM = AE ( từ 2)
=> Tứ giác AEMD là hình bình hành
Lại có : F là trung điểm của đường chéo AM
=> F là giao điểm của đường chéo AM và DE
=> D,E,F thẳng hàng
b)
Vì tứ giác AEMD là hình bình hành ( cm ở câu a)
Mà F lại là trung điểm của AM
=> F là trung điểm DE .
Lời giải:
a) $\Delta ABC$ có $D$ là trung điểm của $AB, E$ là trung điểm của $AC$
$\Rightarrow DE$ là đường trung bình của $\Delta ABC$
$DE//BC$ và $DE=\dfrac{BC}2$(1)
$\Delta AMC$ có $F$ là trung điểm của $AM, E$ là trung điểm của $AC$
$\Rightarrow FE$ là đường trung bình của $\Delta AMC$
$\Rightarrow FE//MC$ và $FE=\dfrac{MC}2$ hay $FE//BC$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $DE, EF$ cùng song song với $BC$
$\Rightarrow D, E, F$ thẳng hàng.
b) $AM$ là đường trung tuyến của $\Delta ABC$ nên $M$ là trung điểm của $BC$
$\Rightarrow MB=MC=\dfrac{BC}{2}$
$\Rightarrow FE=\dfrac{MC}2=\dfrac{BC}{4}$ (3)
Chứng mình tương tự $\Delta ABM$ có $DF$ là đường trung bình của $\Delta ABM$
$\Rightarrow DF=\dfrac{BM}{2}=\dfrac{BC}4$ (4)
Từ (3) và (4) suy ra $DF=FE$ và có $D, E, F$ thẳng hàng câu a
$\Rightarrow F$ là trung điểm của $DE$.