Cho tam giác ABC ( góc A=90°); BD là phân giác của góc B (D thuộc AC). Trên tia BC lấy điểm E sao cho BA=BE
a) Chứng minh tam giác BAD= tam giác BED. Suy ra DE vuông với BE
b)Chứng minh BD là đường trung của AE
c)Kẻ AH vuông với BC.So sánh EH và EC
a,Chứng minh tam giác BAD= tam giác BED. Suy ra DE vuông với BE
Xét $ΔBAD$ và $ΔBED$ có:
$BA=BE(gt)$
$\widehat{ABD}=\widehat{EBD}$ (do $BD$ là đường phân giác $\widehat{B}$)
$BD$ chung
⇒$ΔBAD=ΔBED(c.g.c)$
b.Chứng minh BD là đường trung trực của AE
Do $BA=BE$
$⇒ΔABE$ cân tại $B$
Mà lại có $BD$ là đường phân giác
⇒$BD$ đồng thời là đường trung trực của $AE$
c,So sánh EH và EC
Ta có:
Do câu a$⇒AD=ED$ và $\widehat{DEC}=\widehat{BAC}=90^o$
Xét $ΔDEC$ vuông tại $E$⇒$DC>DE$ (do $DC$ là cạnh huyền)
⇒$AD<DC$
Mà $AH//DE (cùng $⊥$ với $BC$)
⇒$EH<EC$
a) \(\Delta ABD\) và \(\Delta EBD\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}AB=EB\\\widehat{ABD}=\widehat{CBD}\\BD.chung\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\)\(\Delta ABD\) = \(\Delta EBD\) (c.g.c)
\(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{BED}\) (2 góc tương ứng)
\(\Rightarrow\widehat{BED}=90^o\)
\(\Rightarrow DE\perp BE\)
b) Ta có: AB = EB (gt)
\(\Rightarrow\Delta ABE\) cân tại B
Nên BD là đường phân giác đồng thời là đường trung trực
Vậy: BD là đường trung trực của đoạn thẳng AE
c) \(\Delta AHE\) vuông tại H có \(\widehat{AEH}\) nhọn
\(\Rightarrow\) \(\widehat{AEC}\) là góc tù
\(\Rightarrow\) \(\widehat{AHE} < \widehat{AEC}\)
\(\Rightarrow\) AE < AC (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện)
mà EH là hình chiếu của AE trên BC.
HC là hình chiếu của AC trên BC.
\(\Rightarrow\) EH < HC (quan hệ đường xiên và hình chiếu).