Cho tam giác ABC gọi G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. gọi D là điểm đối xứng của A qua A và M là trung

0 bình luận về “Cho tam giác ABC gọi G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. gọi D là điểm đối xứng của A qua A và M là trung”

1. Ta có: $D$ đối xứng $A$ qua $O$

   $\Rightarrow \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OD}$

   $\Rightarrow AD$ là đường kính

   $\Rightarrow \widehat{ACD} = \widehat{ABD} = 90^o$ (nhìn đường kính $AD$)

   $\Rightarrow CD\perp AC; \, BD\perp AB$

   mà $BH\perp AC; \, CH\perp AB$

   nên $BH//CD; \, CH//BD$

   $\Rightarrow BHCD$ là hình bình hành

   $\Rightarrow \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{HD}$

   Bên cạnh đó: $M$ là trung điểm đường chéo $BC$

   $\Rightarrow M$ là trung điểm đường chéo $HD$

   $\Rightarrow H,M,D$ thẳng hàng

   $\Rightarrow HM = MD = \dfrac{1}{2}HD$

   Xét $ΔAHD$ có:

   $OA = OD = R$

   $HM = HD \, (cmt)$

   $\Rightarrow OM$ là đường trung bình

   $\Rightarrow AH = 2OM$

   $\Rightarrow \overrightarrow{AH} = 2\overrightarrow{OM}$

   Xét $ΔAHG$ và $ΔMOG$ có:

   $\widehat{HAG} = \widehat{OMG}$ (so le trong)

   $\dfrac{AH}{OM} = \dfrac{AG}{GM} = 2$

   Do đó $ΔAHG \sim ΔMOG \, (c.g.c)$

   $\Rightarrow \widehat{AGH} = \widehat{MGO}$

   mà $A, G, M$ thẳng hàng

   nên $H,G,O$ thẳng hàng

   Ta lại có: $\dfrac{HG}{OG} = \dfrac{AH}{OM} = 2$

   $\Rightarrow HG = 2OG$

   $\Rightarrow OH = 3OG$

   $\Rightarrow \overrightarrow{OH} = 3\overrightarrow{OG}$

   Áp dụng các đẳng thức về vector vừa chứng minh, ta được:

   $+) \quad \overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC}$

   $= \overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HD}$

   $= \overrightarrow{HO} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{HO} + \overrightarrow{OD}$

   $ =2\overrightarrow{HO} + \overrightarrow{OD} – \overrightarrow{AO}$

   $= 2\overrightarrow{HO} + \overrightarrow{0}$

   $=2\overrightarrow{HO}$

   $+) \quad \overrightarrow{HA} – \overrightarrow{HB} – \overrightarrow{HC}$

   $= \overrightarrow{HA} – (\overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC})$

   $= \overrightarrow{HA} – \overrightarrow{HD}$

   $= \overrightarrow{HO} + \overrightarrow{OA} – (\overrightarrow{HO} + \overrightarrow{OD})$

   $= \overrightarrow{OA}- \overrightarrow{OD}$

   $= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{DO}$

   $= 2\overrightarrow{OA}$

   $+) \quad \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$

   $= \overrightarrow{OH} + \overrightarrow{HA} + \overrightarrow{OH} + \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{OH} + \overrightarrow{HC}$

   $= 3\overrightarrow{OH} + (\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC})$

   $= 3\overrightarrow{OH} + 2\overrightarrow{HO}$

   $= \overrightarrow{OH}$

   Bình luận