Cho tam giác ABC. Gọi I là giao điem của ba đường phân giác của tam giác. Từ I hại IH vuông góc với BC tại H. Biết BC = a, CA = b, AB = c và IH = r .

a) $S_{IBC}$ = $\frac{1}{2}$ . BC . IH = $\frac{1}{2}$ . a . r  

b) Từ I hạ IK vuông góc với AC tại K và IE vuông góc với AB tại E

Xét Δ vuông BIH và Δ vuông BIE có:

      Cạnh huyền BI chung

    ∠HBI=∠EBI (BI là phân giác ∠ABC)

=> Δ BHI = Δ BEI (ch – gn )

=> IH=IE (1)

Xét Δ vuông CHI và Δ vuông CKI, chứng minh tương tự => IH=IK (2)

Từ (1) và (2) => IH=IE=IK=r

=> $S_{ABC}$ = $S_{IBC}$ + $S_{IAC}$ + $S_{IAB}$ = $\frac{1}{2}$ . BC . IH + $\frac{1}{2}$ . AC . IK + $\frac{1}{2}$ . AB . IE

$S_{ABC}$ = $\frac{1}{2}$ . a . r + $\frac{1}{2}$ . b . r + $\frac{1}{2}$ . c . r = $\frac{a + b + c}{2}$ . r