cho tam giác abc,gọi m,n,p lần lượt trung điểm ab, ac,bc chứng minh tam giác abc và tam giác mnp có cùng trọng tâm?
cho tam giác abc,gọi m,n,p lần lượt trung điểm ab, ac,bc chứng minh tam giác abc và tam giác mnp có cùng trọng tâm?
Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tam giác MNP. Khi đó ta có
$$\begin{cases} \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}\\ \vec{G’M} + \vec{G’N} + \vec{G’P} = \vec{0} \end{cases}$$
Ta có nhận xét sau
$$\vec{AM} + \vec{BP} + \vec{CN} = 3\vec{GG’}$$
Thật vậy, ta có
\begin{align*} &\vec{AM} + \vec{BP} + \vec{CN} \\ &=\vec{AG} + \vec{GG’} + \vec{G’M} + \vec{BG} + \vec{GG’} + \vec{G’P} + \vec{CG} + \vec{GG’} + \vec{G’N}\\ &= 3 \vec{GG’} + (\vec{AG} + \vec{BG} + \vec{CG}) + (\vec{G’M} + \vec{G’P} + \vec{G’N})\\ &= 3 \vec{GG’} -(\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}) + \vec{0}\\ &= 3 \vec{GG’} – \vec{0} = 3 \vec{GG’} \end{align*}
Mặt khác, do M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC nên MN, NP, PM là các đường trung bình của tam giác ABC, do đó
$$\begin{cases} \vec{MN} = \vec{BP} = \dfrac{1}{2} \vec{BC}\\ \vec{NP} = \vec{AM} = \dfrac{1}{2} \vec{AB}\\ \vec{PM} = \vec{CN} = \dfrac{1}{2} \vec{CA} \end{cases}$$
Khi đó, ta có
$$\vec{AM} + \vec{BP} + \vec{CN} = \vec{NP} + \vec{MN} + \vec{PM} = \vec{0}$$
Vậy theo đẳng thức ở trên ta có
$$\vec{GG’} = \vec{0}$$
Vậy $G$ và $G’$ trùng nhau. Do đó hai tam giác có cùng trọng tâm.